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Matemática · Intermediário

Funções Lineares e Interpolação

funções afins, inclinação e interpolação entre dois pontos como três leituras da mesma variação linear.

3 objetivos 1 exemplo resolvido 2 exercícios com resposta Pré-requisitos: 1 aula para revisar
Ao final da aula

Objetivos de aprendizagem

  • Explicar como taxa de variação constante conecta tabelas, retas e fórmulas.
  • Aplicar f(x)=ax+b com grandezas e domínio coerentes.
  • Interpretar inclinação sem ultrapassar a condição os dados seguem aproximadamente uma reta.

Está difícil? Revise antes: Funções, conjuntos e gráficos

Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.

Fundamento

Entenda o conceito

Uma corrida cobra 6 reais fixos mais 2 reais por quilômetro. Antes de percorrer qualquer quilômetro, o valor é 6; a cada quilômetro, aumenta 2. Essa variação constante caracteriza uma função afim. A tabela começa com (0,6), (1,8) e (2,10); os pontos se alinham.

Escrevemos f(x)=ax+b. O coeficiente a mede quanto a saída muda quando a entrada aumenta uma unidade; b é a saída em x=0. Se a>0, a função cresce; se a<0, decresce; se a=0, é constante. Na corrida, o domínio físico é x≥0, mesmo que a expressão algébrica aceite negativos.

O zero da função é a entrada que produz saída zero: resolver ax+b=0 dá x=−b/a se a≠0. Já f(5) é a saída para entrada 5. No gráfico, o zero fica no eixo horizontal; b marca a passagem pelo eixo vertical.

Entre dois pontos de uma relação linear, calcule a taxa (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Para (2,10) e (6,18), ela é 8/4=2. Em x=4, partimos de y=10 e somamos 2×(4−2), obtendo 14. Isso é interpolação. Fora do intervalo, a mesma conta extrapola e depende de a relação continuar linear.

Neste percurso, função afim é f(x)=ax+b e função linear é o caso b=0. A linear passa pela origem e, para a≠0, expressa proporcionalidade direta; uma taxa fixa b≠0 quebra essa proporcionalidade. A função quadrática tem termo ax² com a≠0 e gráfico parabólico. Domínio e imagem também dependem do contexto: uma tarifa pode ser definida só para distâncias não negativas.

Inclinação
Razão entre variação vertical e variação horizontal de uma reta não vertical.
Relações e variáveis

Fórmulas explicadas

f(x)=ax+b; a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

Modela uma taxa de variação constante e permite encontrá-la por dois pontos.

Quando usar: x₂≠x₁; dados devem seguir a relação linear no intervalo.

Cuidado: Uma reta vertical não é gráfico de y como função de x.

a
variação da saída por unidade de entrada
b
saída na origem
x,y
entrada e saída
Do enunciado à interpretação

Exemplo resolvido passo a passo

Exemplo resolvido

Avaliação e zero

Enunciado

Para f(x)=2x−6, calcule f(5) e o zero.

Dados
  • a = 2
  • b = -6
  • x = 5
Fórmula
f(x)=ax+b
Substituição
f(5)=10−6=4; x₀=6/2=3

Resolução

  1. Substitua x=5.
  2. Resolva 2x−6=0.
  3. Interprete a>0 como crescimento.

Resultado: f(5)=4 e x₀=3

Interpretação: A inclinação mede quanto y muda por unidade de x; o intercepto fixa o valor inicial.

Pratique · Tente antes de abrir a solução

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exercício 1

Uma relação linear passa por (2,10) e (6,18). Encontre a saída em x=5.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. a=(18−10)/(6−2)=2.
  2. De x=2 até 5 são 3 unidades; y aumenta 2×3=6.
  3. y=10+6=16. A expressão completa é y=2x+6.

Resposta: 16

Exercício 2 · Prática independente

Compare f(x)=3x, g(x)=3x+5 e h(x)=x² para x≥0. Classifique e dê a imagem de cada função nesse domínio.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. f é linear, g é afim não linear e h é quadrática.
  2. f começa em zero e cresce; g começa em 5; h começa em zero.
  3. As imagens são [0,∞), [5,∞) e [0,∞).

Resposta: Linear, afim, quadrática; imagens [0,∞), [5,∞), [0,∞).

Prática guiada

Confira ou avance com as calculadoras

Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.

Revisão editorial

Fontes e atualização

Conteúdo revisado em 09/10/2026.

  • Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.