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Matemática · Intermediário

Funções Quadráticas e Polinômios

valor de funções quadráticas, vértice, concavidade e avaliação segura de polinômios por coeficientes.

3 objetivos 1 exemplo resolvido 1 exercício com resposta Pré-requisitos: 2 aulas para revisar
Ao final da aula

Objetivos de aprendizagem

  • Explicar como grau e coeficientes determinam a forma de uma função polinomial.
  • Aplicar xᵥ=−b/(2a); yᵥ=f(xᵥ) com grandezas e domínio coerentes.
  • Interpretar vértice sem ultrapassar a condição a≠0 na função quadrática.

Está difícil? Revise antes: Funções, conjuntos e gráficos, Equação de 2º Grau

Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.

Fundamento

Entenda o conceito

Um quadrado de lado x tem área x². Quando o lado passa de 1 para 2 e 3, a área passa de 1 para 4 e 9: os aumentos não são constantes. Relações com termo quadrático produzem uma curva chamada parábola, não uma reta.

Uma função quadrática tem forma f(x)=ax²+bx+c, a≠0. Se a>0, a parábola abre para cima e tem mínimo; se a<0, abre para baixo e tem máximo. O vértice é esse ponto extremo. A linha vertical x=−b/(2a) divide o desenho em metades simétricas.

Em f(x)=x²−4x+3, completar o quadrado dá f(x)=(x−2)²−1. Como um quadrado real é não negativo, o menor valor é −1, atingido em x=2. Assim o vértice é (2,−1), o domínio é ℝ e a imagem é [−1,∞). A função decresce até x=2 e cresce depois.

As raízes resolvem f(x)=0 e indicam cruzamentos com o eixo horizontal. Nesse exemplo, x²−4x+3=(x−1)(x−3), então as raízes são 1 e 3. Valores entre elas são negativos; fora são positivos. Se a parábola não cruza o eixo, não há raízes reais, embora o gráfico exista.

Polinômio é soma de termos com potências inteiras não negativas de x. Seu grau é o maior expoente com coeficiente não nulo. A quadrática tem grau 2. Avaliar P(2) é substituir x por 2; resolver P(x)=0 é procurar raízes. Operações gerais e teoremas de polinômios exigem aprofundamento além desta introdução.

Vértice
Ponto de mínimo ou máximo da parábola de uma função quadrática.
Relações e variáveis

Fórmulas explicadas

xᵥ=−b/(2a); yᵥ=f(xᵥ)

Encontra o extremo da parábola.

Quando usar: a≠0.

Cuidado: O vértice não é, em geral, uma raiz.

a,b,c
coeficientes de ax²+bx+c
xᵥ,yᵥ
coordenadas do vértice
Do enunciado à interpretação

Exemplo resolvido passo a passo

Exemplo resolvido

Vértice de uma parábola

Enunciado

Analise f(x)=x²−4x+3 em x=5.

Dados
  • a = 1
  • b = -4
  • c = 3
  • x = 5
Fórmula
xᵥ=−b/(2a); yᵥ=f(xᵥ)
Substituição
f(5)=25−20+3=8; xᵥ=2; yᵥ=−1

Resolução

  1. Avalie f(5).
  2. Calcule xᵥ.
  3. Substitua xᵥ para obter yᵥ.

Resultado: f(5)=8; V=(2,−1)

Interpretação: O vértice localiza o extremo da parábola e o sinal de a determina sua orientação.

Pratique · Tente antes de abrir a solução

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exercício 1

Para f(x)=−x²+6x−5, determine vértice e valor máximo.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. a=−1, b=6; xᵥ=−6/(−2)=3.
  2. f(3)=−9+18−5=4.
  3. Como a<0, o vértice é máximo e a imagem é (−∞,4].

Resposta: V=(3,4); máximo 4.

Prática guiada

Confira ou avance com as calculadoras

Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.

Função Quadrática

Avalie uma função quadrática em um ponto e determine as coordenadas do vértice e a concavidade sem confundir análise da função com cálculo de raízes.

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Avaliação de Polinômio

Calcule P(x) a partir de uma lista declarativa de até vinte coeficientes, em ordem decrescente de grau, usando Horner sem executar expressões.

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Revisão editorial

Fontes e atualização

Conteúdo revisado em 03/10/2026.

  • Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.