Funções, conjuntos e gráficos

Entenda o conceito

Uma função é uma regra: você fornece um valor permitido e recebe exatamente um resultado. Dobrar um número é uma função. Para entrada 3, a saída é 6. Se a mesma entrada pudesse produzir duas saídas diferentes sem outra informação, a regra não definiria uma função.

Um conjunto reúne elementos. Podemos escrever A={1,2,3}; 2∈A significa que 2 pertence a A. O símbolo ℝ representa os números reais: inclui inteiros, frações e números como √2. Escrever x∈ℝ diz que x pode ser real. Um intervalo como [0,4] inclui as extremidades; (0,4) não inclui 0 nem 4. O símbolo ∞ indica que não há limite finito, não um número a substituir.

O domínio é o conjunto das entradas permitidas. O contradomínio é o conjunto de saídas admitidas na definição. A imagem é o conjunto de saídas realmente atingidas. Se f:A→B, A={1,2,3}, B={2,4,6,8} e f(x)=2x, a imagem é {2,4,6}; 8 pertence a B mas não é atingido.

A notação f(x) significa o resultado da regra f aplicada a x, não f multiplicado por x. Em f(x)=2x+1, f(3)=7. Se a regra for 1/(x−2), o domínio real exclui 2 porque o denominador seria zero. Para √x, o domínio real exige x≥0. Primeiro encontre as restrições, depois calcule.

No plano cartesiano, o eixo horizontal registra x e o vertical registra y. O par (2,5) marca duas unidades à direita e cinco para cima. Um gráfico de função reúne pares (x,f(x)). Para f(x)=2x+1, os pontos (0,1), (1,3) e (2,5) pertencem ao gráfico. Uma linha vertical não pode encontrar dois pontos do gráfico de uma função da mesma variável.

Uma função é crescente se entradas maiores sempre produzem saídas maiores no intervalo estudado; decrescente, se produzem menores. Injetora significa que entradas diferentes nunca têm a mesma saída. Sobrejetora significa que a imagem preenche o contradomínio. Bijetora combina as duas propriedades. Essas classificações dependem dos conjuntos: x² em ℝ não é injetora porque 2 e −2 dão 4; restrita a entradas não negativas, é.

Compor funções é executar uma regra e depois outra. Para f(x)=2x+1 e g(x)=x², (g∘f)(x)=(2x+1)². A bolinha indica composição; a regra à direita age primeiro. Só é possível compor quando a saída intermediária está no domínio da regra seguinte.

Uma função inversa desfaz a regra original: f⁻¹(f(x))=x. Ela existe como função do contradomínio para o domínio quando f é bijetora. Para y=2x+1, isole x: x=(y−1)/2; logo f⁻¹(x)=(x−1)/2. O símbolo −1 aqui significa inversa, não potência recíproca. A inversa de x² em [0,∞) é √x; em ℝ, o quadrado não tem inversa como função sem restringir o domínio.

Representar um conjunto por chaves lista seus elementos sem considerar ordem ou repetição. Escrever A⊆B significa que todo elemento de A está em B; ∅ é o conjunto vazio e é subconjunto de qualquer conjunto. O universo U deve ser declarado: o complementar Aᶜ é U\A, os elementos de U que não estão em A. União A∪B reúne os de A ou B; interseção A∩B exige ambos; diferença A\B mantém os de A que não pertencem a B. Num diagrama, regiões sobrepostas representam a interseção, enquanto o retângulo externo representa U.

Operações com intervalos obedecem às mesmas condições elemento a elemento. Se A=[−2,3) e B=(1,5], então A∩B=(1,3), A∪B=[−2,5] e A\B=[−2,1]. O 1 pertence à diferença porque não pertence a B; o 3 pertence à união por B. Colchete inclui, parêntese exclui. O oposto de 2 é −2 (soma zero); seu recíproco é 1/2 (produto um). Zero tem oposto, mas não recíproco.

Produto cartesiano A×B reúne todos os pares ordenados (a,b). Uma relação de A em B é qualquer subconjunto desse produto. Para ser função de A em B, cada elemento de A deve aparecer como primeira coordenada exatamente uma vez. Pares (1,2) e (1,3) juntos impedem função; deixar uma entrada de A sem par também. Uma relação vazia só é função com domínio vazio.

Uma função é par quando f(−x)=f(x) e ímpar quando f(−x)=−f(x), para todas as entradas de um domínio simétrico em relação a zero. x² é par, x³ é ímpar e x²+x não é nenhuma das duas. A função nula num domínio simétrico é ambas. Periodicidade significa existir T>0 com f(x+T)=f(x) em todo o domínio, que deve admitir os deslocamentos. Repetir uma saída duas vezes não basta: a função x² não é periódica.

Uma função definida por partes escolhe a regra a partir da entrada. Se f(x)=x+2 para x<1 e f(x)=3x para x≥1, f(0)=2 e f(1)=3. No gráfico, desenhe cada sentença apenas em sua faixa, com círculo aberto no extremo excluído e fechado no incluído. Não some as duas sentenças nem decida a faixa pelo valor da saída.

Dividir uma tarefa de 12 horas de trabalho por x pessoas igualmente produtivas dá t(x)=12/x horas, para x inteiro positivo. No modelo algébrico, a função recíproca f(x)=1/x admite qualquer real não nulo e tem imagem ℝ sem zero. Pontos (1,1), (2,1/2), (−1,−1) e (−2,−1/2) mostram dois ramos. Quanto mais próximo de zero, maior o módulo da saída; quanto maior |x|, mais próximo de zero o resultado, sem atingi-lo. As retas x=0 e y=0 são assíntotas.

Em cada intervalo (−∞,0) e (0,∞), 1/x é decrescente, mas não se deve dizer que é decrescente em todo o domínio: −1<1 e f(−1)<f(1). Em g(x)=a/(x−h)+k, a≠0, as assíntotas são x=h e y=k; domínio exclui h e imagem exclui k. A inversa f⁻¹ desfaz uma função, enquanto 1/f é seu recíproco. Para f(x)=2x, são x/2 e 1/(2x), regras diferentes.

Para resolver 1/x≥1/2, não multiplique por x sem saber o sinal. Reúna num quociente: (2−x)/(2x)≥0. As fronteiras são zero e 2; testar os três intervalos dá 0<x≤2. Equações permitem multiplicar pelo denominador depois de excluir seu zero; inequações exigem ainda analisar o sinal. Na tarefa distribuída, interprete somente entradas inteiras positivas.

A raiz quadrada pergunta pelo lado não negativo de um quadrado de área x. Assim f(x)=√x aceita x≥0 e devolve y≥0. A tabela x=0,1,4,9 dá y=0,1,2,3. O gráfico começa na origem e cresce cada vez mais lentamente; não é uma reta. Embora y²=x tenha dois valores de y quando x>0, a função raiz escolhe apenas o não negativo.

Transladar um gráfico é deslocá-lo sem mudar sua forma. Se (u,f(u)) pertence ao original, o gráfico g(x)=f(x−h)+k contém (u+h,f(u)+k): h positivo desloca para a direita, k positivo para cima. Para √(x−2)+1, o ponto inicial é (2,1), domínio [2,+∞) e imagem [1,+∞). Dica: localize primeiro onde o radicando zera e use quadrados perfeitos dentro dele.

Refletir em relação ao eixo x troca a saída: −f(x); refletir em relação ao eixo y troca a entrada: f(−x). Para −√x, domínio x≥0 e imagem y≤0; para √(−x), domínio x≤0 e imagem y≥0. A troca do sinal dentro altera também quais entradas são permitidas. Em g(x)=−√(x−2)+3, o ponto inicial é (2,3), domínio x≥2, imagem y≤3 e o gráfico decresce.

Como pensar: identifique a função de referência, trate a entrada para achar o domínio, acompanhe um ponto conhecido e só então descreva a imagem. Em −√(x−2)+3=1, isole a raiz: √(x−2)=2; elevar ao quadrado dá x=6. Substituir na expressão original confirma a resposta e impede aceitar raízes criadas ao quadrar uma equação impossível.

Domínio

Entradas permitidas.

Contradomínio

Conjunto declarado para receber as saídas.

Imagem

Saídas efetivamente obtidas.

Coordenadas

Par ordenado com posição horizontal e vertical.