Cálculo Fácil Brasil Aprenda, calcule e confira.
Matemática · Intermediário

Sistemas Lineares com Duas Incógnitas

sistemas 2×2 por determinantes e interprete solução única, retas paralelas ou equações equivalentes.

3 objetivos 1 exemplo resolvido 2 exercícios com resposta Pré-requisitos: 2 aulas para revisar
Ao final da aula

Objetivos de aprendizagem

  • Explicar como duas equações restringem simultaneamente x e y.
  • Aplicar D=ae−bd com grandezas e domínio coerentes.
  • Interpretar determinante sem ultrapassar a condição as duas equações são lineares.

Está difícil? Revise antes: Equação de 1º Grau, Funções Lineares e Interpolação

Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.

Fundamento

Entenda o conceito

Duas condições sobre as mesmas quantidades precisam valer ao mesmo tempo. Se dois ingressos adultos e um infantil custam 34 reais, e um adulto e um infantil custam 22 reais, as incógnitas x e y devem satisfazer 2x+y=34 e x+y=22 simultaneamente.

Subtraia a segunda igualdade da primeira: (2x+y)−(x+y)=34−22. O termo y se cancela e sobra x=12. Voltando à segunda, 12+y=22 dá y=10. Eliminar uma incógnita reduz duas equações a uma conhecida; depois é obrigatório voltar para obter a outra.

Também podemos isolar y=22−x na segunda e substituir na primeira: 2x+(22−x)=34. Essa é a substituição. Não se trata de escolher a equação preferida: a solução deve satisfazer ambas.

Geometricamente, cada equação linear em x e y descreve uma reta. Duas retas que se cruzam têm uma solução. Retas paralelas distintas não têm solução: x+y=2 e x+y=5 exigiriam a mesma soma com valores diferentes. Equações proporcionais, como x+y=2 e 2x+2y=4, descrevem a mesma reta e têm infinitas soluções.

O método dos determinantes resume o cálculo. Para ax+by=c e dx+ey=f, o determinante dos coeficientes é D=ae−bd. Se D≠0, x=(ce−bf)/D e y=(af−cd)/D. Se D=0, volte à eliminação para distinguir contradição de identidade, inclusive quando todos os coeficientes forem zero. A fórmula de divisão não classifica sozinha esses casos.

Sistema
Conjunto de equações que devem valer simultaneamente.
Eliminação
Combinação de equações para cancelar uma incógnita.
Determinante 2×2
Produto da diagonal principal menos produto da outra diagonal.
Relações e variáveis

Fórmulas explicadas

D=ae−bd; x=(ce−bf)/D; y=(af−cd)/D

Resolve ax+by=c e dx+ey=f quando a solução é única.

Quando usar: D≠0 para dividir.

Cuidado: D=0 requer analisar as equações, não concluir automaticamente infinitas soluções.

a,b,d,e
coeficientes
c,f
termos independentes
D
determinante
Do enunciado à interpretação

Exemplo resolvido passo a passo

Exemplo resolvido

Sistema com solução única

Enunciado

Resolva 2x+y=7 e x−y=2.

Dados
  • a = 2
  • b = 1
  • c = 7
  • d = 1
  • e = -1
  • f = 2
Fórmula
D=ae−bd
Substituição
D=−3; x=−9/−3; y=−3/−3

Resolução

  1. Calcule os três determinantes.
  2. Divida Dₓ e Dᵧ por D.
  3. Substitua nas duas equações.

Resultado: x=3 e y=1

Interpretação: Determinante não nulo corresponde a uma única interseção entre as duas retas.

Pratique · Tente antes de abrir a solução

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exercício 1

Resolva x+y=9 e x−y=3.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. Somando: 2x=12, logo x=6.
  2. Na primeira: 6+y=9, logo y=3.
  3. Confira na segunda: 6−3=3.

Resposta: x=6; y=3

Exercício 2 · Checagem conceitual

Compare os sistemas: I) x+y=4 e 2x+2y=8; II) x+y=4 e 2x+2y=9. Quantas soluções tem cada um?

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. Em I sobra 0=0: a segunda condição repete a primeira. Há infinitos pares (x,4−x).
  2. Em II sobra 0=1: contradição, nenhuma solução. Ambos têm determinante zero, que sozinho não distingue os casos.

Resposta: I: infinitas; II: nenhuma.

Para conferir seu raciocínio: Determinante zero pode indicar redundância ou contradição; examine a linha resultante.

Prática guiada

Confira ou avance com as calculadoras

Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.

Sistema Linear 2×2

Resolva duas equações lineares simultâneas pelo método dos determinantes e diferencie solução única, nenhuma solução e infinitas soluções.

Abrir calculadora Ler o guia de cálculo
Revisão editorial

Fontes e atualização

Conteúdo revisado em 05/10/2026.

  • Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.