Logaritmos e Relações Exponenciais

Entenda o conceito

Se uma quantidade dobra a cada etapa, as quantidades 1, 2, 4, 8 e 16 são potências de 2. Em f(x)=2ˣ, agora é o expoente que varia. Essa função exponencial é sempre positiva, cresce e passa por (0,1). Para base entre 0 e 1, como (1/2)ˣ, ela decresce. A base deve ser positiva e diferente de 1 para a função exponencial não constante aqui estudada.

O logaritmo pergunta qual expoente produz um número. Como 2³=8, escrevemos log₂8=3. A base é 2, o argumento é 8 e o resultado é o expoente 3. Essa leitura deve vir antes de qualquer uso da tecla log.

A função logarítmica y=log_b x é inversa de y=bˣ: seu domínio é x>0 e sua imagem é ℝ. Se b>1, cresce; se 0<b<1, decresce. Seu gráfico passa por (1,0), porque b⁰=1. Não existe logaritmo real de zero ou negativo nesse modelo.

As propriedades vêm das potências: log_b(uv)=log_bu+log_bv, log_b(u/v)=log_bu−log_bv e log_b(uʳ)=r log_bu, com u,v positivos. Não existe propriedade que transforme log(u+v) em logu+logv. log sem base costuma indicar base 10; ln indica base e, aproximadamente 2,71828.

Para resolver 2ˣ=16, reconheça 16=2⁴ e conclua x=4. Em log₂(x−1)=3, traduza para x−1=2³ e obtenha x=9; confira a restrição x>1. Em inequações, funções crescentes preservam a ordem e decrescentes a invertem: (1/2)ˣ>(1/2)³ exige x<3.

Logaritmo decimal tem base 10: log 1000=3 porque 10³=1000; log 0,01=−2. Em y=aˣ, a>0 e a≠1, o domínio é ℝ e a imagem (0,∞); o gráfico passa por (0,1). A inversa y=logₐx tem domínio (0,∞), imagem ℝ e passa por (1,0). As curvas se refletem na reta y=x. Se 0<a<1, ambas são decrescentes; o logaritmo pode ser negativo, mas seu argumento não.

As propriedades logₐ(uv)=logₐu+logₐv, logₐ(u/v)=logₐu−logₐv e logₐ(uʳ)=r logₐu exigem u,v>0 para essas formas reais. Não existe uma regra log(u+v)=log u+log v. Antes de combinar expressões, registre domínio; log(x²)=2log|x| vale para x≠0, enquanto 2log x só está definido para x>0.

O logaritmo decimal informa a ordem de grandeza e a posição dentro dela. Escreva um número positivo como N=a×10ⁿ, com 1≤a<10 e n inteiro. Então log N=n+log a. A característica é c=⌊log N⌋, o maior inteiro que não supera log N; a mantissa é m=log N−c, sempre 0≤m<1. Aqui mantissa é a parte fracionária do logaritmo, não o coeficiente a da notação científica.

Exemplo simples: log 1000=3, característica 3 e mantissa 0. Exemplo intermediário: dado log 2≈0,30103, log 200=2,30103 tem c=2 e m≈0,30103. Para 0,02=2×10⁻², log 0,02≈−1,69897=−2+0,30103: característica −2, mantissa positiva. Truncar em direção a zero daria −1 e uma mantissa negativa, contrariando a definição.

Como pensar: primeiro localize N entre potências consecutivas de dez. Se 10ᶜ≤N<10ᶜ⁺¹, essa é a característica c. Depois calcule a fração restante. Para reconstruir N a partir de c e m, use N=10ᶜ×10ᵐ. Dica: multiplicar por dez muda apenas a característica; a mantissa fica igual. Isso permite conferir resultados muito pequenos sem decorar regras de zeros.

Logaritmo

Expoente que transforma a base no argumento.

Exponencial

Função em que a entrada aparece no expoente de uma base fixa.

ln

Logaritmo na base e.