Progressões Aritméticas e Geométricas

Entenda o conceito

Uma sequência é uma lista ordenada; a posição faz parte da informação. Em 3,5,7,9, cada termo aumenta 2. Chamamos essa diferença constante de razão da progressão aritmética, PA. Do primeiro ao quinto termo há quatro aumentos, não cinco: a₅=3+4×2=11.

Para somar uma PA finita, emparelhe primeiro e último, segundo e penúltimo: os pares têm a mesma soma. Por isso Sₙ=n(a₁+aₙ)/2. Na lista 3,5,7,9,11, a soma é 5×14/2=35, inclusive com quantidade ímpar de termos.

Na progressão geométrica, PG, cada termo é o anterior multiplicado por uma razão q. Em 3,6,12,24, q=2. Assim aₙ=a₁qⁿ⁻¹. Razão negativa alterna sinais; q=1 mantém os termos iguais. Não confunda diferença fixa com multiplicador fixo.

Para obter a soma finita da PG, escreva S=a₁+a₁q+…+a₁qⁿ⁻¹ e subtraia qS: os termos intermediários se cancelam. Fica (1−q)S=a₁(1−qⁿ), portanto S=a₁(1−qⁿ)/(1−q) se q≠1. Quando q=1, some n termos iguais: S=na₁.

Se |q|<1, os termos diminuem em módulo e qⁿ se aproxima de zero quando o número de termos cresce. A soma infinita então é a₁/(1−q). Fora dessa condição, essa expressão não deve ser usada como soma convergente. As reticências … indicam continuação, e n é sempre a posição inteira positiva.

Na PA, a diferença entre quaisquer dois termos dividida pela diferença de seus índices recupera a razão. Termos equidistantes dos extremos têm a mesma soma, justificando Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; um termo interno é a média aritmética de seus vizinhos. Na PG, um termo interno ao quadrado é o produto dos vizinhos. A soma infinita a₁/(1−q) exige |q|<1 para que as parcelas acumuladas se aproximem de um limite; q=−1 oscila e q=1 não converge se a₁≠0.

Termo geral

Expressão que encontra uma posição sem listar todos os termos anteriores.