Pontos, Distância e Ponto Médio
segmentos no plano cartesiano por variações horizontal e vertical, distância euclidiana e média das coordenadas.
Objetivos de aprendizagem
- Explicar como Pitágoras aparece na distância entre dois pontos.
- Aplicar d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²] com grandezas e domínio coerentes.
- Interpretar ponto médio sem ultrapassar a condição os pontos pertencem ao mesmo plano cartesiano.
Entenda o conceito
O núcleo desta aula é como Pitágoras aparece na distância entre dois pontos.
Distância é escalar; ponto médio é uma posição equidistante das extremidades.
As coordenadas precisam compartilhar sistema, escala e unidade.
- Ponto médio
- Ponto obtido pela média de cada par de coordenadas das extremidades.
Fórmulas explicadas
d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
As variações formam os catetos de um triângulo retângulo.
Procedimento seguro
- Associe os dados do problema às grandezas de d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²].
- Verifique antes da substituição: os pontos pertencem ao mesmo plano cartesiano.
- Calcule sem arredondar etapas intermediárias e interprete o resultado como ponto médio.
- Use a calculadora vinculada somente depois para conferir a substituição.
Exemplo resolvido passo a passo
Segmento 3-4-5
Calcule a distância de (0,0) a (3,4).
- Dados
-
- ax = 0
- ay = 0
- bx = 3
- by = 4
- Fórmula
- d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
- Substituição
- d=√(3²+4²)=5
- Calcule Δx=3.
- Calcule Δy=4.
- Aplique Pitágoras.
Resultado: 5
Interpretação: Distância é escalar; ponto médio é uma posição equidistante das extremidades.
Exercícios com solução
Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.
Exercício 1 Distância entre (1,1) e (4,5).
Dica: Comece por d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²].
Solução passo a passo
- Localize no enunciado os dados de d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²].
- Use Δx=3 e Δy=4.
- Confira a unidade e a condição os pontos pertencem ao mesmo plano cartesiano.
Resposta: 5.
Confira ou avance com as calculadoras
Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.
Distância entre Dois Pontos
Calcule a distância euclidiana entre dois pontos cartesianos e confira as variações horizontal e vertical.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoPonto Médio
Encontre o ponto que divide ao meio o segmento entre duas coordenadas cartesianas.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoFontes e atualização
Conteúdo revisado em 20/08/2026.
- Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.