Pontos, Distância e Ponto Médio
segmentos no plano cartesiano por variações horizontal e vertical, distância euclidiana e média das coordenadas.
Objetivos de aprendizagem
- Explicar como Pitágoras aparece na distância entre dois pontos.
- Aplicar d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²] com grandezas e domínio coerentes.
- Interpretar ponto médio sem ultrapassar a condição os pontos pertencem ao mesmo plano cartesiano.
Está difícil? Revise antes: Teorema de Pitágoras, Funções, conjuntos e gráficos
Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.
Entenda o conceito
Um ponto do plano é localizado por duas coordenadas: em (3,4), andamos 3 no eixo horizontal e 4 no vertical a partir da origem. Trocar a ordem geralmente muda o ponto. Use a mesma unidade e a mesma escala ao interpretar distâncias geométricas.
Entre A=(1,2) e B=(7,10), a diferença horizontal é 6 e a vertical é 8. Esses segmentos perpendiculares formam um triângulo retângulo. A distância é a hipotenusa: √(6²+8²)=10. Distância é não negativa e não depende de qual ponto foi chamado primeiro.
O ponto médio fica a meio caminho em cada coordenada: M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2). Para A e B acima, M=(4,6). Não confunda o ponto, que é um par, com a distância, que é um número. A média das coordenadas também funciona com valores negativos.
O baricentro de um triângulo, encontro das medianas, tem coordenadas iguais à média das três coordenadas dos vértices. A condição de alinhamento e a área por coordenadas são aprofundamentos de geometria analítica; não são consequência de apenas calcular uma distância.
Uma mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Para A=(0,0), B=(6,0) e C=(0,6), o meio de BC é M=(3,3). O baricentro G=(2,2) está a dois terços do caminho de A a M: AG:GM=2:1. Calculamos G somando as três coordenadas horizontais e dividindo por 3, e repetimos nas verticais. O resultado fica dentro de qualquer triângulo não degenerado; dividir por 2 daria um ponto médio, não o baricentro.
- Ponto médio
- Ponto obtido pela média de cada par de coordenadas das extremidades.
Fórmulas explicadas
Aplica Pitágoras às diferenças horizontal e vertical.
Quando usar: Plano cartesiano com eixos perpendiculares.
Cuidado: Não somar módulos das diferenças: isso mede outro caminho.
- x₁,y₁,x₂,y₂
- coordenadas dos pontos Unidade: mesma unidade
- d
- distância Unidade: unidade das coordenadas
Localiza o meio do segmento.
Quando usar: Mesmo sistema de coordenadas.
Cuidado: Use soma para ponto médio e diferença para distância.
- M
- ponto médio
Exemplo resolvido passo a passo
Segmento 3-4-5
Enunciado
Calcule a distância de (0,0) a (3,4).
- Dados
-
- ax = 0
- ay = 0
- bx = 3
- by = 4
- Fórmula
- d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
- Substituição
- d=√(3²+4²)=5
Resolução
- Calcule Δx=3.
- Calcule Δy=4.
- Aplique Pitágoras.
Resultado: 5
Interpretação: Distância é escalar; ponto médio é uma posição equidistante das extremidades.
Exercícios com solução
Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.
Exercício 1
Para A=(−2,1) e B=(4,9), calcule distância e ponto médio.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Δx=4−(−2)=6 e Δy=9−1=8.
- d=√(36+64)=10.
- M=((−2+4)/2,(1+9)/2)=(1,5).
Resposta: d=10; M=(1,5).
Exercício 2 · Exercício independente
A=(−3,0), B=(6,0), C=(0,9). Determine o baricentro G e o ponto médio M de AB; confira a razão CG:GM.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- G=((−3+6+0)/3,(0+0+9)/3)=(1,3). M=((−3+6)/2,0)=(1,5;0).
- Do vetor CM=(1,5;−9), dois terços são (1;−6). Partindo de C chegamos a (1,3), portanto CG:GM=2:1.
- G fica dentro do triângulo; M fica na base. Vírgula decimal em 1,5 não cria uma terceira coordenada.
Resposta: G=(1,3), M=(1,5;0), CG:GM=2:1.
Para conferir seu raciocínio: Dividir a soma dos três vértices por 2 não produz uma média e perde a razão da mediana.
Confira ou avance com as calculadoras
Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.
Distância entre Dois Pontos
Calcule a distância euclidiana entre dois pontos cartesianos e confira as variações horizontal e vertical.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoPonto Médio
Encontre o ponto que divide ao meio o segmento entre duas coordenadas cartesianas.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoFontes e atualização
Conteúdo revisado em 05/10/2026.
- Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.