Polígonos Regulares e Circunferência Analítica

Entenda o conceito

Um polígono é uma linha fechada formada por segmentos, junto com a região que delimitam. Os encontros são vértices; os segmentos são lados; diagonais ligam vértices não consecutivos. Triângulo, quadrilátero e pentágono têm 3, 4 e 5 lados. Em um polígono regular, lados e ângulos são iguais.

Um polígono convexo pode ser dividido, a partir de um vértice, em n−2 triângulos. Como cada triângulo soma 180°, a soma interna é (n−2)180°. Essa soma não exige regularidade. Somente dividir por n para obter cada ângulo exige que todos sejam iguais. No regular convexo, o ângulo externo é 360°/n.

Para passar da forma à localização no plano, descreva uma circunferência pela distância ao centro. Se o centro é (h,k) e o raio r>0, cada ponto (x,y) satisfaz (x−h)²+(y−k)²=r², por Pitágoras. Com centro (2,−1) e raio 3, a equação é (x−2)²+(y+1)²=9.

Calcule a distância do ponto ao centro para classificá-lo: menor que r indica interior; igual, sobre a circunferência; maior, exterior. Para uma reta, compare sua distância perpendicular ao centro com r: menor produz duas interseções, igual uma tangência e maior nenhuma. A comparação entre duas circunferências também depende da distância dos centros e da soma/diferença dos raios; isso requer prática adicional.

Duas circunferências de raios R≥r>0 e centros a distância d podem ser externas sem contato (d>R+r), tangentes externas (d=R+r), secantes (R−r < d < R+r), tangentes internas (d=R−r>0), ou uma interna à outra sem contato (d < R−r). Se d=0 e R=r, coincidem; se d=0 e R≠r, são concêntricas distintas. Compare distâncias antes de resolver simultaneamente as equações.

Na reta ax+by+c=0, calcule a distância do centro (h,k) usando d=|ah+bk+c|/√(a²+b²), com a e b não simultaneamente nulos. Para o círculo (x−1)²+(y−2)²=9 e a reta y=5, d=|2−5|=3: a reta é tangente. Em y=4 a distância é 2, menor que o raio, e há dois pontos; em y=6 a distância é 4 e não há contato. A aula de retas explica essa distância perpendicular.

Completar quadrados também descreve regiões: (x−h)²+(y−k)²≤r² é o disco fechado; trocar por < exclui a borda e > seleciona o exterior. Se r²=0, a igualdade dá só o centro; se r²<0, nenhum ponto real satisfaz a igualdade. Tangência entre reta e circunferência ocorre quando a distância do centro à reta iguala o raio. Entre duas circunferências de raios R e r, tangência externa exige d=R+r e interna exige d=|R−r|, excluindo o caso de centros iguais e raios iguais, que é coincidência.

Ângulo externo

Mudança de direção em cada vértice, igual a 360°/n no polígono regular.