Retas: Inclinação e Equação

Entenda o conceito

Para descrever uma reta não vertical, precisamos de uma direção e um ponto por onde ela passa. A direção é medida pela taxa de variação m=Δy/Δx, chamada coeficiente angular. Se y aumenta 6 quando x aumenta 3, m=2.

Conhecendo (x₀,y₀), escreva y−y₀=m(x−x₀). Para o ponto (1,3) e m=2, y−3=2(x−1), logo y=2x+1. Essa forma reduzida mostra a inclinação e o intercepto. A forma geral ax+by+c=0 inclui também retas verticais, como x−4=0.

Duas retas não verticais com o mesmo m são paralelas ou coincidentes; compare o intercepto para decidir. Se os coeficientes angulares são diferentes, há interseção. Quando m₁m₂=−1, são perpendiculares. Uma reta horizontal e uma vertical também são perpendiculares, embora a vertical não tenha m finito.

Na forma segmentária x/p+y/q=1, p e q são interceptos não nulos nos eixos. Ela não serve se um desses interceptos for zero ou inexistente. Distância de um ponto a uma reta significa o menor segmento até ela, sempre perpendicular; a fórmula exige a reta escrita na forma geral.

O menor ângulo θ entre retas de coeficientes angulares m₁,m₂ satisfaz tanθ=|(m₂−m₁)/(1+m₁m₂)|, quando o denominador não é zero. Se m₁m₂=−1, são perpendiculares. Para uma reta vertical, compare a inclinação da outra com 90°; não atribua coeficiente angular infinito como número comum.

A distância entre retas paralelas ax+by+c₁=0 e ax+by+c₂=0 é |c₁−c₂|/√(a²+b²), depois de igualar os coeficientes de x e y. Se as retas se cruzam, a menor distância é zero. Bissetrizes de duas retas concorrentes são os lugares dos pontos equidistantes delas: (a₁x+b₁y+c₁)/√(a₁²+b₁²)=±(a₂x+b₂y+c₂)/√(a₂²+b₂²). O sinal ± produz as duas bissetrizes, geralmente não uma única reta.

Uma inequação ax+by+c≤0 descreve um semiplano com a reta de fronteira incluída. Desenhe a igualdade e teste um ponto que não esteja nela para escolher o lado. Na desigualdade estrita, a fronteira fica excluída. Sistemas de inequações em duas variáveis pedem a interseção dos semiplanos, que pode ser vazia ou ilimitada.

Uma reta pode ser descrita como ponto inicial mais múltiplos de um vetor direção: x=x₀+at e y=y₀+bt, com t real e (a,b)≠(0,0). Cada t marca um ponto; não há unidade obrigatória de tempo, pois t é apenas parâmetro. Para (x₀,y₀)=(1,2) e direção (2,−1), t=0 dá (1,2), t=1 dá (3,1). Eliminando t: x+2y=5. Se a=0, a reta é vertical e x=x₀; a forma paramétrica continua válida. Se t for restrito a [0,1], o conjunto pode ser só um segmento, não a reta inteira.

Coeficiente angular

Taxa Δy/Δx que descreve inclinação de uma reta não vertical.