Contagem e probabilidade

Entenda o conceito

Contar possibilidades evita escrever listas enormes. Com 3 camisetas e 2 calças, cada camiseta permite duas combinações: 3×2=6. O princípio multiplicativo vale quando cada etapa tem a quantidade declarada de opções; se as escolhas mudam a etapa seguinte, separe os casos. Alternativas que não se sobrepõem podem ser somadas.

Ordenar 4 objetos distintos oferece 4 escolhas para a primeira posição, 3 para a segunda, 2 para a terceira e 1 para a última: 4!=24. O ponto de exclamação significa fatorial; 0!=1. A permutação simples usa todos os n elementos distintos uma única vez.

Escolher presidente e vice entre 5 pessoas tem ordem: Ana/Beto difere de Beto/Ana. São 5×4=20 arranjos de 5 tomados 2 a 2. Em geral A(n,p)=n!/(n−p)!. Se o objetivo for uma dupla sem cargos, cada dupla apareceu duas vezes; divida por 2!, obtendo C(5,2)=10. Combinação retira as p! ordens do mesmo grupo.

Probabilidade compara um evento ao conjunto de resultados possíveis, o espaço amostral. Em um dado honesto, há seis faces equiprováveis; o evento sair par reúne 2,4,6, então P=3/6=1/2. Favoráveis/possíveis só vale diretamente quando os resultados contados são igualmente prováveis. Soma de probabilidades de todos os resultados é 1.

O complemento de A reúne resultados em que A não ocorre: P(não A)=1−P(A). Para uma união, P(A ou B)=P(A)+P(B)−P(A e B), subtraindo a interseção contada duas vezes. No dado, par ou maior que 4 reúne 2,4,5,6: 3/6+2/6−1/6=4/6.

Condição reduz o espaço amostral: sabendo que o dado foi par, a chance de ter sido 6 passa a 1/3. Escrevemos P(B|A)=P(A e B)/P(A), com P(A)>0. Eventos independentes preservam probabilidades sob a condição; nesse caso a probabilidade conjunta é o produto. Não suponha independência em sorteios sem reposição.

Uma urna tem 3 fichas azuis e 2 vermelhas, igualmente acessíveis. Retirando duas sem reposição, a chance de ambas azuis é (3/5)(2/4)=3/10. Por contagem de grupos, também C(3,2)/C(5,2)=3/10. Com reposição seria (3/5)²=9/25: o procedimento muda a resposta.

O princípio aditivo soma contagens de casos disjuntos. Se um objeto pode pertencer a dois casos, separe-os ou subtraia a interseção para não contar duas vezes. O princípio multiplicativo combina escolhas sucessivas; a palavra “ou” sugere casos, mas é preciso analisar se eles se sobrepõem.

Um experimento binomial tem n tentativas, dois resultados em cada uma, independência e probabilidade p constante de sucesso. Uma sequência com k sucessos tem chance pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ; existem C(n,k) posições para os sucessos. Portanto P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. “Pelo menos um” pode ser calculado por 1−P(X=0). Retirar objetos sem reposição muda p e, em geral, não é binomial; use probabilidades condicionais sucessivas.

Se objetos se repetem de forma indistinguível, permutar todos como distintos conta o mesmo arranjo várias vezes. Nas letras A,A,B, etiquetar A₁ e A₂ daria 3!=6 ordens; trocar só as etiquetas não cria palavra nova, então divida por 2!, obtendo 3. Para n objetos, com repetições r₁,r₂,…, o total é n!/(r₁!r₂!…), desde que os grupos de repetições sejam distintos entre si. Restrições de posição precisam ser tratadas antes ou por casos; não aplique automaticamente a fórmula sem analisar o enunciado.

Arranjo

Escolha em que a ordem distingue resultados.

Combinação

Grupo sem distinção de ordem.

Equiprovável

Com a mesma probabilidade dos outros resultados elementares.