Funções e equações trigonométricas

Entenda o conceito

No ciclo unitário, cada volta repete as coordenadas. Por isso seno e cosseno têm período 2π: os gráficos são ondas que repetem seus valores entre −1 e 1. O seno começa em 0 e o cosseno em 1 quando x=0. Tangente é sen x/cos x; seu período é π e ela não existe em π/2+kπ, com k inteiro. Entre duas dessas fronteiras seu gráfico cresce de valores negativos para positivos sem limite.

Em y=A sen(bx+c)+d, com A e b não nulos, |A| é a amplitude e 2π/|b| o período. A linha central é y=d; a imagem vai de d−|A| a d+|A|. A fase c desloca o gráfico em −c/b no eixo x. Assim 2 sen(3x)+1 varia de −1 a 3 e repete a cada 2π/3. Argumentos nas fórmulas de período estão em radianos.

Uma identidade é verdadeira para todo valor em seu domínio, ao contrário de uma equação que pede valores específicos. Dividindo sen²x+cos²x=1 por cos²x obtemos 1+tan²x=sec²x. Aqui sec x=1/cos x; também cossec x=1/sen x e cot x=cos x/sen x. Cada divisão exclui os zeros do denominador.

A soma de ângulos não soma senos. As relações são sen(a±b)=sen a cos b±cos a sen b e cos(a±b)=cos a cos b∓sen a sen b. Por exemplo, sen75°=sen(45°+30°)=(√6+√2)/4. Para tangentes, tan(a±b)=(tan a±tan b)/(1∓tan a tan b), nos valores em que todas as expressões existem.

Fazendo a=b, surgem sen2a=2 sen a cos a e cos2a=cos²a−sen²a=1−2sen²a. Reorganizando a segunda relação, sen²(a/2)=(1−cos a)/2 e cos²(a/2)=(1+cos a)/2. Ao tirar a raiz, escolha o sinal pelo quadrante de a/2; a bissecção não autoriza sempre a raiz positiva.

Resolver sen x=1/2 no intervalo 0≤x<2π procura pontos de altura 1/2: x=π/6 e x=5π/6. Em todos os reais, acrescente 2kπ a cada família. Para sen x=sen a, as famílias são x=a+2kπ e x=π−a+2kπ; para cos x=cos a, x=±a+2kπ; para tan x=tan a, x=a+kπ, respeitado o domínio.

Uma inequação seleciona arcos inteiros. No mesmo intervalo, sen x≥1/2 pede os pontos acima ou sobre a altura 1/2: [π/6,5π/6]. Para sen(2x)=0 em [0,2π), primeiro 2x=kπ e então x=kπ/2: 0,π/2,π,3π/2. O argumento dobrou a quantidade de ciclos; procurar só duas raízes perderia soluções.

Somar as fórmulas de sen(u+v) e sen(u−v) cancela os termos opostos e dá 2 sen u cos v. Tomando u=(a+b)/2 e v=(a−b)/2, obtemos sen a+sen b=2 sen((a+b)/2)cos((a−b)/2). Subtrair dá sen a−sen b=2 cos((a+b)/2)sen((a−b)/2). Analogamente, cos a+cos b=2 cos((a+b)/2)cos((a−b)/2) e cos a−cos b=−2 sen((a+b)/2)sen((a−b)/2).

Um sistema trigonométrico pede que todas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Resolva cada uma no mesmo intervalo e faça a interseção, não a união. Para soluções reais gerais, acrescente períodos inteiros às famílias apropriadas; em intervalos fechados confira os extremos. Não divida por seno ou cosseno sem examinar seus zeros, pois você pode perder soluções.

Para recuperar um ângulo a partir do seno, precisamos escolher um ramo: seno em ℝ repete valores e não é injetor. Restrito a [−π/2,π/2], é crescente e atinge [−1,1] uma única vez. Sua inversa arcsen tem domínio [−1,1], imagem [−π/2,π/2] e gráfico refletido na reta y=x. Assim arcsen(1/2)=π/6, mas resolver sen x=1/2 em ℝ ainda dá duas famílias. arcsen(sen(5π/6))=π/6, não 5π/6.

Cosseno restrito a [0,π] é decrescente de 1 a −1. A inversa arccos tem domínio [−1,1], imagem [0,π], com arccos(1)=0, arccos(0)=π/2 e arccos(−1)=π. Tangente restrita a (−π/2,π/2) cresce de −∞ a +∞; arctan tem domínio ℝ, imagem (−π/2,π/2), passa por (0,0) e tem assíntotas horizontais ±π/2. Os ângulos destas funções estão em radianos, salvo indicação expressa em graus. arccos x=π/2−arcsen x em [−1,1].

Secante, cossecante e cotangente são recíprocas, não funções arco. sec x=1/cos x tem domínio excluindo π/2+kπ, período 2π e imagem (−∞,−1]∪[1,∞). cossec x=1/sen x tem domínio excluindo kπ, mesmo período e imagem. Trace primeiro seno/cosseno: seus zeros viram assíntotas verticais; valores ±1 permanecem ±1; valores próximos de zero produzem ramos de grande módulo. cot x=cos x/sen x tem período π, domínio excluindo kπ, imagem ℝ e é decrescente em cada (kπ,(k+1)π); zera em π/2+kπ.

Período

Menor deslocamento positivo que repete a função.

Amplitude

Distância vertical da linha central ao máximo de uma senoide.

Identidade

Igualdade válida em todo o domínio comum.