Matrizes, determinantes e escalonamento

Entenda o conceito

Uma matriz é uma tabela retangular de números. A=[1,2;3,4] tem duas linhas, separadas aqui por ponto e vírgula, e duas colunas: a₂₁=3 está na linha 2, coluna 1. A ordem m×n informa linhas antes de colunas. Duas matrizes são iguais se têm a mesma ordem e todos os elementos correspondentes iguais.

Somar matrizes de mesma ordem é somar posição a posição. Multiplicar por um número multiplica cada elemento. A transposta troca linhas por colunas: a transposta de [1,2;3,4] é [1,3;2,4]. A matriz nula só contém zeros; a identidade quadrada tem 1 na diagonal principal e 0 fora dela.

O produto AB combina cada linha de A com cada coluna de B. Para A=[1,2;0,1] e B=[3,1;2,0], a posição (1,1) é 1×3+2×2=7; fazendo as outras, AB=[7,1;2,0]. O número de colunas de A deve igualar o de linhas de B. Em geral BA é diferente de AB e pode até não existir.

O determinante associa um número a uma matriz quadrada. Em ordem 2, det[a,b;c,d]=ad−bc. Ele mede o fator de área orientada da transformação: se é zero, há dependência entre direções e não existe inversa. Para ordem 3, a regra de Sarrus soma aei+bfg+cdh e subtrai ceg+bdi+afh na matriz [a,b,c;d,e,f;g,h,i]. Sarrus não vale em ordens maiores.

Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante; multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k; adicionar a uma linha um múltiplo de outra não muda o determinante. Em matriz triangular, ele é o produto da diagonal. Essas propriedades permitem reduzir contas sem decorar fórmulas maiores.

Um sistema pode ser escrito AX=B, onde X reúne as incógnitas. Escalonar é eliminar variáveis usando três operações reversíveis: trocar equações; multiplicar uma equação por constante não nula; somar a ela um múltiplo de outra. A matriz aumentada inclui a coluna de termos independentes. Faça as operações em toda a linha, inclusive nessa coluna.

No sistema x+y+z=6, y+z=5 e z=3, a forma já é triangular: z=3, y=2 e x=1 por substituição de baixo para cima. Uma linha 0=2 denuncia impossibilidade. Uma linha 0=0 é redundante; se restarem variáveis livres, há infinitas soluções. Determinante zero sozinho não distingue esses dois casos.

Quando det A≠0, há solução única: pela regra de Cramer, xᵢ=det Aᵢ/det A, substituindo a coluna i pelos termos independentes. Em ordem 2, A⁻¹=[d,−b;−c,a]/(ad−bc), e X=A⁻¹B. A inversa não é obtida invertendo cada elemento separadamente.

Encontrar uma inversa também pode ser entendido como resolver AX=I, coluna a coluna. A verificação é multiplicar: AA⁻¹=I. Na ordem 2, determinante não nulo garante inversa; se as linhas são proporcionais, o determinante é zero e nenhuma matriz pode desfazer a perda de informação. Inverter cada entrada separadamente não é inversão matricial.

Uma matriz linha tem uma linha; uma coluna, uma coluna; quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas. Na quadrada, a diagonal principal reúne entradas aᵢᵢ. Diagonal tem zeros fora dela; escalar é diagonal com todos os elementos da diagonal iguais; identidade é o caso com esses elementos iguais a 1. Triangular superior tem zeros abaixo da diagonal e inferior, acima. Matriz simétrica satisfaz Aᵀ=A; antissimétrica satisfaz Aᵀ=−A e por isso tem diagonal zero nos reais. Uma matriz pode pertencer a várias classes; classifique verificando entradas, não só aparência.

Elemento aᵢⱼ

Número na linha i e coluna j.

Pivô

Elemento não nulo usado para eliminar incógnitas.

Determinante

Número de uma matriz quadrada que identifica, entre outras propriedades, sua invertibilidade.