Cálculo Fácil Brasil Aprenda, calcule e confira.
Matemática · Intermediário

Triângulos Oblíquos: Senos e Cossenos

lados e ângulos de triângulos não retângulos escolhendo entre Lei dos Senos e Lei dos Cossenos conforme os dados.

3 objetivos 1 exemplo resolvido 3 exercícios com resposta Pré-requisitos: 1 aula para revisar
Ao final da aula

Objetivos de aprendizagem

  • Explicar quando usar pares opostos ou dois lados com ângulo incluído.
  • Aplicar c²=a²+b²−2ab cos C com grandezas e domínio coerentes.
  • Interpretar ângulo incluído sem ultrapassar a condição os dados satisfazem a desigualdade triangular.

Está difícil? Revise antes: Ângulos e razões trigonométricas

Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.

Fundamento

Entenda o conceito

Em triângulos que não têm ângulo reto, Pitágoras geralmente não basta. Nomeie cada lado com a letra minúscula do ângulo oposto: a fica em frente de A, b de B e c de C. Essa correspondência determina qual fórmula pode ser aplicada.

Se conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, a lei dos cossenos encontra o terceiro: c²=a²+b²−2ab cosC. Ela recupera Pitágoras quando C=90°, porque cos90°=0. Para ângulo obtuso, o cosseno é negativo e o terceiro lado cresce.

Se conhecemos um par de lado e ângulo opostos e outro ângulo, a lei dos senos usa a/senA=b/senB=c/senC. Por exemplo, se a=6, A=30° e B=90°, b=6×1/(1/2)=12. O lado maior fica oposto ao ângulo maior.

Conhecer dois lados e um ângulo não incluído pode gerar duas soluções, uma ou nenhuma. Isso ocorre porque senθ=sen(180°−θ). Ao obter um ângulo por seno, teste também o suplementar e confira se a soma com os ângulos dados é menor que 180°. Dados impossíveis não devem produzir um triângulo aceito só porque uma conta saiu.

A altura relativa ao lado a pode ser obtida do outro lado b: h=b sen C, onde C é o ângulo compreendido. Assim a área é ab sen C/2. Para C obtuso, a altura cai na extensão da base, mas sen C continua positivo e a expressão permanece válida. Exemplo: lados 4 e 6 formando 30° dão área 4×6×(1/2)/2=6. Na lei dos cossenos entra cos C; na área entra sen C: a pergunta determina a relação.

Reconhecer ternas pitagóricas ajuda a conferir triângulos retângulos: 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17 satisfazem a²+b²=c², assim como seus múltiplos positivos. Elas não substituem comprovar o ângulo reto. Para quadráticas simples, testar soma e produto das raízes pode revelar fatores antes da fórmula resolutiva; sempre confira expandindo os fatores.

Ângulo incluído
Ângulo situado entre os dois lados conhecidos no caso LAL.
Relações e variáveis

Fórmulas explicadas

c²=a²+b²−2ab cosC

Encontra lado oposto ao ângulo entre dois lados conhecidos.

Quando usar: Triângulo válido; ângulo estritamente entre 0° e 180°.

Cuidado: Não substituir um ângulo que não seja oposto a c.

a,b,c
lados Unidade: mesma unidade
C
ângulo entre a e b
a/senA=b/senB=c/senC

Compara pares opostos em qualquer triângulo.

Quando usar: Ângulos internos positivos cuja soma é 180°.

Cuidado: O caso de dois lados e ângulo não incluído pode ser ambíguo.

A,B,C
ângulos opostos aos lados correspondentes
Do enunciado à interpretação

Exemplo resolvido passo a passo

Exemplo resolvido

Terceiro lado por LAL

Enunciado

Calcule c para a=3, b=4 e C=90°.

Dados
  • mode = side
  • a = 3
  • b = 4
  • c = 5
  • angle = 90
Fórmula
c²=a²+b²−2ab cos C
Substituição
c=√(9+16)=5

Resolução

  1. Use cos90°=0.
  2. Some 9 e 16.
  3. Extraia a raiz.

Resultado: c=5

Interpretação: Lei dos Senos compara pares opostos; Lei dos Cossenos generaliza Pitágoras.

Pratique · Tente antes de abrir a solução

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exercício 1

Num triângulo, a=8, A=30° e B=90°. Encontre b.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. 8/sen30°=b/sen90°.
  2. 8/(1/2)=b/1, logo b=16.
  3. b é hipotenusa e supera a, como esperado.

Resposta: b=16

Exercício 2 · Aplicação integrada

Num triângulo, A=30°, a=5 cm e b=5√3 cm. Quantos valores de B são possíveis? Determine também c em cada caso.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. senB=b senA/a=√3/2: B=60° ou 120°. As somas com A são menores que 180°, então ambos valem.
  2. Se B=60°, C=90° e c=10 cm. Se B=120°, C=30° e c=5 cm.
  3. Confira o primeiro caso com c²=a²+b²−2ab cos90°=25+75=100; no segundo, cos30° produz c²=25.

Resposta: Dois triângulos: (B,C,c)=(60°,90°,10 cm) ou (120°,30°,5 cm).

Para conferir seu raciocínio: A função seno tem o mesmo valor em ângulos suplementares; aceitar só 60° perde um triângulo.

Exercício 3 · Aplicação em nível de prova

Dois lados medem 6 e 10 cm e formam 120°. Determine o terceiro lado e a área.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

  1. cos120°=−1/2: c²=36+100+60=196, então c=14 cm.
  2. sen120°=√3/2: A=6×10×√3/4=15√3 cm².
  3. 14<6+10 e 14>|10−6|: o triângulo existe; o maior lado está oposto ao ângulo obtuso.

Resposta: 14 cm; 15√3 cm².

Prática guiada

Confira ou avance com as calculadoras

Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.

Revisão editorial

Fontes e atualização

Conteúdo revisado em 12/10/2026.

  • Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.