Triângulos Oblíquos: Senos e Cossenos
lados e ângulos de triângulos não retângulos escolhendo entre Lei dos Senos e Lei dos Cossenos conforme os dados.
Objetivos de aprendizagem
- Explicar quando usar pares opostos ou dois lados com ângulo incluído.
- Aplicar c²=a²+b²−2ab cos C com grandezas e domínio coerentes.
- Interpretar ângulo incluído sem ultrapassar a condição os dados satisfazem a desigualdade triangular.
Entenda o conceito
O núcleo desta aula é quando usar pares opostos ou dois lados com ângulo incluído.
Lei dos Senos compara pares opostos; Lei dos Cossenos generaliza Pitágoras.
O caso SSA pode admitir duas soluções e exige análise geométrica adicional.
- Ângulo incluído
- Ângulo situado entre os dois lados conhecidos no caso LAL.
Fórmulas explicadas
c²=a²+b²−2ab cos C
Quando C=90°, o termo do cosseno desaparece.
Procedimento seguro
- Associe os dados do problema às grandezas de c²=a²+b²−2ab cos C.
- Verifique antes da substituição: os dados satisfazem a desigualdade triangular.
- Calcule sem arredondar etapas intermediárias e interprete o resultado como ângulo incluído.
- Use a calculadora vinculada somente depois para conferir a substituição.
Exemplo resolvido passo a passo
Terceiro lado por LAL
Calcule c para a=3, b=4 e C=90°.
- Dados
-
- mode = side
- a = 3
- b = 4
- c = 5
- angle = 90
- Fórmula
- c²=a²+b²−2ab cos C
- Substituição
- c=√(9+16)=5
- Use cos90°=0.
- Some 9 e 16.
- Extraia a raiz.
Resultado: c=5
Interpretação: Lei dos Senos compara pares opostos; Lei dos Cossenos generaliza Pitágoras.
Exercícios com solução
Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.
Exercício 1 Calcule c para a=5, b=5 e C=60°.
Dica: Comece por c²=a²+b²−2ab cos C.
Solução passo a passo
- Localize no enunciado os dados de c²=a²+b²−2ab cos C.
- Substitua cos60°=0,5.
- Confira a unidade e a condição os dados satisfazem a desigualdade triangular.
Resposta: c=5.
Confira ou avance com as calculadoras
Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.
Lei dos Cossenos
Calcule um lado pelo caso LAL ou um ângulo pelos três lados de um triângulo não necessariamente retângulo.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoLei dos Senos
Relacione lados e ângulos opostos em um triângulo oblíquo, com aviso para o caso ambíguo SSA.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoFontes e atualização
Conteúdo revisado em 20/08/2026.
- Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.