Círculos, Setores e Arcos
frações angulares de área e de comprimento em círculos, distinguindo setor bidimensional de arco unidimensional.
Objetivos de aprendizagem
- Explicar como o ângulo central seleciona uma fração da volta.
- Aplicar A=(θ/360)πr² com grandezas e domínio coerentes.
- Interpretar setor circular sem ultrapassar a condição 0°≤θ≤360°.
Está difícil? Revise antes: Ângulos e razões trigonométricas, Área e Perímetro
Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.
Entenda o conceito
Circunferência é a linha de pontos à mesma distância r de um centro; círculo inclui a região interna. O raio liga centro à linha. O diâmetro atravessa o centro e mede 2r. A razão comprimento/diâmetro é π, aproximadamente 3,14159.
Um ângulo central escolhe uma fração da volta. Um setor de 90° ocupa 90/360=1/4 da área do círculo; seu arco ocupa a mesma fração do comprimento da circunferência. Isso não significa que arco e setor tenham a mesma medida: um usa unidade de comprimento e o outro, de área.
A circunferência inteira mede 2πr e o círculo tem área πr². Para um ângulo θ em graus, multiplique cada total por θ/360. Se θ estiver em radianos, o comprimento é rθ e a área do setor é r²θ/2. Converta antes de escolher a expressão.
Um segmento circular é a região entre uma corda e um arco. Para um setor menor com ângulo até 180°, sua área é a área do setor menos a do triângulo formado pelos dois raios. Não confunda essa região com um setor, que alcança o centro.
Uma coroa circular ocupa o espaço entre duas circunferências concêntricas de raios R e r, com R>r. Sua área é πR²−πr²: subtraia as áreas, não os raios antes de elevar ao quadrado. Uma coroa com R=5 cm e r=3 cm tem área 16π cm²; um círculo de raio R−r teria apenas 4π cm².
Para um segmento menor de ângulo central θ entre 0° e 180°, retire do setor o triângulo de lados r e r. A altura relativa a um desses raios é r sen θ, portanto o triângulo tem área r² sen θ/2. Com θ=90° e r=4 cm, o setor vale 4π cm², o triângulo 8 cm² e o segmento 4π−8 cm². O segmento maior é a área do círculo menos a do segmento menor.
- Setor circular
- Região interna limitada por dois raios e pelo arco entre eles.
Fórmulas explicadas
Seleciona frações de comprimento e área usando graus.
Quando usar: r>0; setor de uma volta com 0°≤θ≤360°.
Cuidado: Não inserir radianos sem converter.
- r
- raio Unidade: comprimento
- θ
- ângulo central Unidade: graus
- L
- arco Unidade: comprimento
- A
- área do setor Unidade: comprimento ao quadrado
Exemplo resolvido passo a passo
Sexta parte do círculo
Enunciado
Calcule o setor de raio 6 e ângulo 60°.
- Dados
-
- radius = 6
- angle = 60
- Fórmula
- A=(θ/360)πr²
- Substituição
- A=(60/360)π×36=6π
Resolução
- Calcule a fração 1/6.
- Calcule a área total 36π.
- Multiplique.
Resultado: 6π
Interpretação: θ/360 multiplica a área total no setor e o comprimento total no arco.
Exercícios com solução
Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.
Exercício 1
Calcule o comprimento do arco de raio 6 cm e ângulo 120°, mantendo π.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Circunferência inteira: 2π×6=12π cm.
- Arco: (120/360)×12π=4π cm.
- Não elevar raio ao quadrado: a pergunta é comprimento.
Resposta: 4π cm
Exercício 2 · Checagem conceitual
Uma região é limitada por uma corda e pelo arco menor correspondente. Ela é um setor, um segmento ou uma coroa?
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Corda e arco delimitam um segmento circular.
- O setor usa dois raios e um arco; a coroa fica entre duas circunferências concêntricas.
Resposta: Segmento circular.
Para conferir seu raciocínio: Chamar de setor ignora que sua borda deve passar pelo centro por dois raios.
Exercício 3 · Exercício guiado
Uma arruela tem raio externo 7 cm e interno 4 cm. Calcule a área do material, mantendo π.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Dados: R=7 cm, r=4 cm. Pergunta: área da coroa; a espessura da peça não entra nessa área plana.
- Relação: A=πR²−πr². Substituição: A=(49−16)π=33π cm².
- Coerência: 33π é positivo e menor que a área externa 49π.
Resposta: 33π cm².
Para conferir seu raciocínio: (7−4)²π dá 9π: subtrai raios, embora seja necessário subtrair áreas.
Exercício 4 · Exercício independente
Dois raios de 6 cm formam 90°. Calcule a área do segmento menor delimitado pela corda e pelo arco.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Setor: (90/360)π6²=9π cm².
- Triângulo: 6×6/2=18 cm².
- Segmento: 9π−18 cm², positivo e menor que 9π. O complemento no disco vale 27π+18 cm².
Resposta: 9π−18 cm².
Para conferir seu raciocínio: 9π ainda inclui o triângulo; 18 sozinho mede o triângulo que precisa ser retirado.
Confira ou avance com as calculadoras
Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.
Setor Circular
Calcule a área correspondente a uma fração angular do círculo usando raio e ângulo central entre zero e uma volta completa.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoComprimento de Arco
Encontre o comprimento da borda circular determinada por um raio e por um ângulo central, como fração da circunferência completa.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoFontes e atualização
Conteúdo revisado em 05/10/2026.
- Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax — Rice University. Álgebra, funções, sequências, geometria analítica e trigonometria.