Inequações, sinais e módulo
Encontre intervalos de soluções, interprete módulo como distância e resolva inequações por sinais, sem multiplicar por expressões de sinal desconhecido.
Objetivos de aprendizagem
- Representar soluções por intervalos.
- Construir o gráfico de uma função modular.
- Resolver produtos e quocientes por uma tabela de sinais.
Está difícil? Revise antes: Funções Quadráticas e Polinômios, Logaritmos e Relações Exponenciais
Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.
Entenda o conceito
Uma equação procura igualdade; uma inequação procura uma comparação. Se cada ingresso custa 12 reais e há 50 reais disponíveis, 12x≤50 descreve o limite. Em números reais x≤25/6; como ingressos são inteiros não negativos, só cabem 0, 1, 2, 3 ou 4. O contexto pode restringir a solução algébrica.
Somar o mesmo número aos dois lados conserva a ordem. Multiplicar por um número positivo também; por um negativo inverte a comparação: de 2<5 obtemos −2>−5. Assim −2x+6≥0 equivale a −2x≥−6 e depois x≤3. Os símbolos ≤ e ≥ incluem a igualdade; < e > excluem a fronteira.
O módulo |x| mede a distância de x a zero. Portanto |−4|=|4|=4. Sua definição por partes é |x|=x para x≥0 e |x|=−x para x<0. O gráfico y=|x| tem vértice (0,0) e dois ramos retos. Em y=|x−2|, o vértice se desloca para (2,0); o domínio continua real e a imagem é [0,∞).
A expressão |x−a| mede a distância até a. Pedir |x−2|≤3 significa ficar a até 3 unidades de 2: −1≤x≤5. Já |x−2|>3 exige x<−1 ou x>5. Se o limite de distância for negativo, |x−a|≤−1 não tem solução. Para uma igualdade com limite positivo há normalmente dois pontos, um de cada lado.
Para (x−1)(x−4)>0, marque os zeros 1 e 4 e teste os intervalos: em x=0 ambos os fatores são negativos; em x=2 têm sinais opostos; em x=5 ambos são positivos. O produto é positivo fora das raízes. Não é necessário testar infinitos números: nenhum fator linear troca de sinal dentro desses intervalos.
Em quocientes, use o mesmo estudo de sinais, excluindo todo zero do denominador. Para (x−1)/(x−4)≥0, a solução é (−∞,1]∪(4,∞): 1 zera a expressão e pode entrar; 4 nem pertence ao domínio. Multiplicar direto por x−4 sem saber seu sinal poderia inverter a desigualdade indevidamente.
Em bases exponenciais maiores que 1, a ordem dos expoentes é preservada: 2ˣ>8 implica x>3. Em bases entre 0 e 1, ela se inverte: (1/2)ˣ>1/8 implica x<3. Para logaritmos, imponha argumentos positivos antes de comparar; log₂(x−1)≤2 exige x>1 e x−1≤4, logo 1<x≤5.
O gráfico de g(x)=|x−h|+k tem vértice (h,k), domínio ℝ e imagem [k,∞). À direita do vértice use x−h+k; à esquerda, −x+h+k. Multiplicar o módulo por um número negativo vira o V para baixo e troca a imagem para (−∞,k]. As restrições do domínio declarado podem cortar ramos; sempre confronte o desenho com a fórmula por partes.
- Intervalo
- Conjunto de números entre fronteiras, que podem ou não ser incluídas.
- Módulo
- Distância não negativa até zero.
- União ∪
- Reúne soluções de alternativas.
Fórmulas explicadas
Transforma uma distância máxima em intervalo.
Quando usar: r≥0; x e a reais.
Cuidado: Para distância maior, a solução está fora do intervalo.
- a
- centro
- r
- distância máxima
Exemplo resolvido passo a passo
Tolerância ao redor de um valor
Enunciado
Resolva |x−7|≤2.
- Dados
-
- centro 7
- raio 2
- Fórmula
- a−r≤x≤a+r
- Substituição
- 7−2≤x≤7+2
Resolução
- A menor posição aceita é 5.
- A maior é 9; as fronteiras têm distância exatamente 2.
Resultado: [5,9].
Interpretação: A solução é todo o segmento, não apenas seus extremos.
Exercícios com solução
Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.
Exercício 1
Resolva (x−2)(x−6)≤0 e explique a inclusão das raízes.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Em 0 o produto é positivo; em 4, negativo; em 7, positivo.
- Como zero é permitido, entram 2 e 6.
Resposta: [2,6].
Exercício 2
Resolva |x+1|≤4.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- O centro é −1 e o raio é 4.
- −1−4≤x≤−1+4.
Resposta: [−5,3].
Exercício 3 · Exercício independente
Quais números estão a exatamente 4 unidades de 1? Escreva e resolva a equação modular.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- A distância é |x−1|=4.
- x−1=4 ou x−1=−4: x=5 ou x=−3.
- Ambos distam 4 de 1; o intervalo inteiro seria solução de uma desigualdade, não desta igualdade.
Resposta: x=−3 ou x=5.
Para conferir seu raciocínio: Marcar todo o intervalo inclui pontos cuja distância é menor que 4.
Exercício 4 · Aplicação integrada
Resolva separadamente (x+2)/(x−3)≤0 e log₂(x−2)<2.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- No quociente, zero −2 e polo 3 separam três intervalos; sinais +, −, +. Inclua −2 e exclua 3: [−2,3).
- No logaritmo, x>2. Base 2 é crescente: x−2<4, então x<6. Interseção: (2,6).
- Teste x=0 no quociente e x=3 no logaritmo; teste também as fronteiras para conferir sua inclusão.
Resposta: [−2,3) e (2,6), respectivamente.
Para conferir seu raciocínio: Aceitar x≤2 no segundo caso ignora que logaritmo real exige argumento positivo.
Exercício 5 · Prática independente
Esboce g(x)=|x−2|−3 em ℝ. Determine vértice, imagem e zeros.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Vértice (2,−3); domínio ℝ e imagem [−3,∞).
- |x−2|=3 dá x=−1 ou 5.
- À esquerda de 2, g=−x−1; à direita, g=x−5, com ponto comum no vértice.
Resposta: Vértice (2,−3); imagem [−3,∞); zeros −1 e 5.
Você aprendeu
- Módulo mede distância.
- Produtos e quocientes exigem estudar sinais e domínio.
- A fronteira só entra se a expressão existir e a comparação permitir igualdade.
Fontes e atualização
Conteúdo revisado em 09/10/2026.
- Inequações e valor absoluto — OpenStax — Rice University. Inequações e valor absoluto