Matemática · Fundamental

Equação de Segundo Grau

Uma equação de segundo grau contém x² com coeficiente não nulo. O discriminante indica quantas raízes reais a fórmula resolutiva pode produzir.

4 objetivos 1 exemplo resolvido 1 exercício com resposta

Ao final da aula

Objetivos de aprendizagem

Identificar a, b e c, preservando o sinal de cada coeficiente.
Calcular o discriminante Δ = b² − 4ac.
Usar a fórmula resolutiva e classificar as raízes reais.
Conferir cada raiz e reconhecê-la como intercepto da parábola no eixo x.

Pré-requisito recomendado: Equação de 1º Grau

Fundamento

Entenda o conceito

A forma ax² + bx + c = 0 representa uma equação quadrática somente quando a ≠ 0. Se a fosse zero, o termo quadrático desapareceria e a equação seria linear ou constante.

O discriminante Δ é o valor dentro da raiz quadrada da fórmula resolutiva. Quando Δ > 0 há duas raízes reais distintas; quando Δ = 0 há uma raiz real repetida; quando Δ < 0 não há raiz no conjunto dos números reais.

No gráfico de y = ax² + bx + c, as raízes reais são os valores de x nos quais a parábola encontra o eixo x. A calculadora desta versão trabalha apenas no conjunto real, embora equações com Δ negativo tenham soluções complexas.

Equação quadrática: Equação ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero.
Discriminante: Valor Δ = b² − 4ac que classifica as raízes reais.
Raiz: Valor de x que faz o polinômio valer zero.
Parábola: Gráfico de uma função quadrática em um plano cartesiano.

Parábola y igual a x ao quadrado menos x menos 6, com raízes menos 2 e 3 e vértice em 0,5 e menos 6,25. — **Parábola de y = x² − x − 6 e suas duas raízes reais.** O gráfico abre para cima, cruza o eixo x em −2 e 3 e marca o vértice em (0,5; −6,25).

Relações e variáveis

Fórmulas explicadas

Δ = b² − 4ac

Calcula o discriminante antes da extração da raiz quadrada.

a: coeficiente quadrático, diferente de zero
b: coeficiente linear
c: termo constante
Δ: discriminante

x = (−b ± √Δ) ÷ (2a)

Produz as raízes reais quando Δ é maior ou igual a zero.

x: raiz real da equação

xᵥ = −b ÷ (2a)

Localiza o eixo de simetria e a coordenada x do vértice.

xᵥ: coordenada x do vértice

Procedimento seguro

Organize os termos na forma ax² + bx + c = 0 e confirme que a ≠ 0.
Calcule b² e 4ac separadamente; depois encontre Δ = b² − 4ac.
Classifique o sinal de Δ antes de tentar extrair sua raiz quadrada.
Para Δ ≥ 0, calcule os resultados com +√Δ e −√Δ, sempre dividindo o numerador inteiro por 2a.
Substitua cada raiz na expressão original e confirme que o resultado é zero.

Do enunciado à interpretação

Exemplo resolvido passo a passo

Exemplo resolvido

Resolver x² − x − 6 = 0

Calcule as raízes reais de x² − x − 6 = 0 e relacione-as ao gráfico.

Dados: a = 1
b = −1
c = −6
Fórmula: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ) ÷ (2a)
Substituição: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−6); x = (1 ± √25) ÷ 2

Calcule o discriminante: Δ = 1 + 24 = 25.
Extraia a raiz positiva do discriminante: √25 = 5.
Use o sinal de adição: x₁ = (1 + 5) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3.
Use o sinal de subtração: x₂ = (1 − 5) ÷ 2 = −4 ÷ 2 = −2.
O vértice tem xᵥ = 1 ÷ 2 = 0,5 e yᵥ = 0,5² − 0,5 − 6 = −6,25.

Resultado: As raízes reais são x = 3 e x = −2.

Interpretação: A parábola cruza o eixo x em −2 e 3; seu vértice está em (0,5; −6,25).

Tente antes de abrir

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exercício 1 Resolva 2x² + x − 3 = 0 no conjunto dos números reais.

Dica: Use a = 2, b = 1 e c = −3; calcule o sinal de 4ac com atenção.

Solução passo a passo

Δ = 1² − 4 × 2 × (−3) = 1 + 24 = 25.
x = (−1 ± 5) ÷ 4.
Com adição: x₁ = 4 ÷ 4 = 1.
Com subtração: x₂ = −6 ÷ 4 = −3/2 = −1,5.
Conferências: 2(1)² + 1 − 3 = 0 e 2(−1,5)² − 1,5 − 3 = 0.

Resposta: x = 1 ou x = −1,5

Prática guiada

Confira ou avance com as calculadoras

Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.