Matemática · Fundamental

Equação de Segundo Grau

Uma equação de segundo grau contém x² com coeficiente não nulo. O discriminante indica quantas raízes reais a fórmula resolutiva pode produzir.

4 objetivos 1 exemplo resolvido 3 exercícios com resposta Pré-requisitos: 2 aulas para revisar

Ao final da aula

Objetivos de aprendizagem

Identificar a, b e c, preservando o sinal de cada coeficiente.
Calcular o discriminante Δ = b² − 4ac.
Usar a fórmula resolutiva e classificar as raízes reais.
Conferir cada raiz e reconhecê-la como intercepto da parábola no eixo x.

Está difícil? Revise antes: Equação de 1º Grau, Potências, Raízes e Notação Científica

Já domina esses conhecimentos? Continue para o conceito.

Fundamento

Entenda o conceito

Procurar o lado de um quadrado de área conhecida exige descobrir um número a partir de seu quadrado. Equações com x² aparecem também quando áreas ou produtos de duas quantidades variáveis entram em uma conta. Antes de aplicar uma fórmula, reúna todos os termos de um lado e identifique os coeficientes.

A forma ax² + bx + c = 0 representa uma equação quadrática somente quando a ≠ 0. Se a fosse zero, o termo quadrático desapareceria e a equação seria linear ou constante.

O discriminante Δ é o valor dentro da raiz quadrada da fórmula resolutiva. Quando Δ > 0 há duas raízes reais distintas; quando Δ = 0 há uma raiz real repetida; quando Δ < 0 não há raiz no conjunto dos números reais.

No gráfico de y = ax² + bx + c, as raízes reais são os valores de x nos quais a parábola encontra o eixo x. A calculadora desta versão trabalha apenas no conjunto real, embora equações com Δ negativo tenham soluções complexas.

Elevar ao quadrado pode introduzir uma raiz falsa. Em √(x+2)=x, o lado esquerdo é não negativo, então x≥0. Elevando ao quadrado: x+2=x², ou (x−2)(x+1)=0. Os candidatos são 2 e −1; só 2 satisfaz a equação inicial. Já em x⁴−5x²+4=0, a troca y=x² transforma a expressão em y²−5y+4=0; após resolver y, volte a x e considere os dois sinais de cada raiz positiva.

Equação quadrática: Equação ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero.
Discriminante: Valor Δ = b² − 4ac que classifica as raízes reais.
Raiz: Valor de x que faz o polinômio valer zero.
Parábola: Gráfico de uma função quadrática em um plano cartesiano.

Parábola y igual a x ao quadrado menos x menos 6, com raízes menos 2 e 3 e vértice em 0,5 e menos 6,25. — **Parábola de y = x² − x − 6 e suas duas raízes reais.** O gráfico abre para cima, cruza o eixo x em −2 e 3 e marca o vértice em (0,5; −6,25).

Relações e variáveis

Fórmulas explicadas

Δ = b² − 4ac

Calcula o discriminante antes da extração da raiz quadrada.

a: coeficiente quadrático, diferente de zero
b: coeficiente linear
c: termo constante
Δ: discriminante

x = (−b ± √Δ) ÷ (2a)

Produz as raízes reais quando Δ é maior ou igual a zero.

x: raiz real da equação

xᵥ = −b ÷ (2a)

Localiza o eixo de simetria e a coordenada x do vértice.

xᵥ: coordenada x do vértice

Do enunciado à interpretação

Exemplo resolvido passo a passo

Exemplo resolvido

Resolver x² − x − 6 = 0

Enunciado

Calcule as raízes reais de x² − x − 6 = 0 e relacione-as ao gráfico.

Dados: a = 1
b = −1
c = −6
Fórmula: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ) ÷ (2a)
Substituição: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−6); x = (1 ± √25) ÷ 2

Resolução

Calcule o discriminante: Δ = 1 + 24 = 25.
Extraia a raiz positiva do discriminante: √25 = 5.
Use o sinal de adição: x₁ = (1 + 5) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3.
Use o sinal de subtração: x₂ = (1 − 5) ÷ 2 = −4 ÷ 2 = −2.
O vértice tem xᵥ = 1 ÷ 2 = 0,5 e yᵥ = 0,5² − 0,5 − 6 = −6,25.

Resultado: As raízes reais são x = 3 e x = −2.

Interpretação: A parábola cruza o eixo x em −2 e 3; seu vértice está em (0,5; −6,25).

Pratique · Tente antes de abrir a solução

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exercício 1

Resolva 2x² + x − 3 = 0 no conjunto dos números reais.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

Δ = 1² − 4 × 2 × (−3) = 1 + 24 = 25.
x = (−1 ± 5) ÷ 4.
Com adição: x₁ = 4 ÷ 4 = 1.
Com subtração: x₂ = −6 ÷ 4 = −3/2 = −1,5.
Conferências: 2(1)² + 1 − 3 = 0 e 2(−1,5)² − 1,5 − 3 = 0.

Resposta: x = 1 ou x = −1,5

Exercício 2 · Exercício independente

Resolva √(x+6)=x nos reais, descartando qualquer candidato inválido.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

É necessário x≥0; isso também garante x+6≥0.
x+6=x² implica (x−3)(x+2)=0: candidatos 3 e −2.
√9=3 confirma 3. Para −2, √4=2, diferente de −2: descarte.

Resposta: A única solução é x=3.

Para conferir seu raciocínio: Elevar ao quadrado apaga o sinal; por isso −2 passa na equação transformada, mas falha na original.

Exercício 3 · Aplicação integrada

Encontre todas as raízes reais de x⁴−13x²+36=0.

Ver solução passo a passo

Solução passo a passo

y²−13y+36=(y−4)(y−9)=0: y=4 ou y=9.
x²=4 dá x=−2 ou 2; x²=9 dá x=−3 ou 3.
Substituir qualquer desses valores zera a expressão. São quatro raízes reais, compatíveis com grau quatro.

Resposta: x∈{−3,−2,2,3}.

Para conferir seu raciocínio: A raiz principal √4 é 2, mas a equação x²=4 admite também −2.

Prática guiada

Confira ou avance com as calculadoras

Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.