Cônicas: parábola, elipse e hipérbole

Entenda o conceito

Imagine marcar todos os pontos que ficam à mesma distância de um ponto fixo: surge uma circunferência. Essa coleção é um lugar geométrico. As cônicas também podem ser obtidas cortando um cone por um plano; aqui vamos estudá-las por distâncias no plano cartesiano, sem cálculo diferencial.

Recupere distância entre pontos e completar quadrados antes de continuar. Uma circunferência tem centro (h,k), raio r e equação (x−h)²+(y−k)²=r². Ela é um caso de elipse com os dois focos no centro. Uma parábola vista como gráfico quadrático ganhará agora uma interpretação por foco e diretriz.

Parábola é o conjunto dos pontos equidistantes de um foco F e de uma reta, a diretriz. Para F=(0,p) e diretriz y=−p, iguale √(x²+(y−p)²) a |y+p|. Elevando ao quadrado e cancelando termos, vem x²=4py. O vértice é (0,0); p é uma distância orientada e não é zero. Se p é negativo, a abertura é para baixo. Trocando os eixos, y²=4px abre para a direita ou esquerda.

Ao deslocar o vértice para (h,k), escreva (x−h)²=4p(y−k): foco (h,k+p), diretriz y=k−p. Para a parábola horizontal, (y−k)²=4p(x−h), foco (h+p,k). Substituir coordenadas verifica se um ponto pertence à curva; a igualdade das distâncias dá uma conferência geométrica independente.

Elipse reúne pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante, 2a. Com focos (±c,0), a>c≥0 e b²=a²−c², a equação é x²/a²+y²/b²=1. Os semieixos são a e b, não os comprimentos totais. Se o maior denominador está sob y², o eixo maior é vertical e os focos são (0,±c). Some h e k às coordenadas para transladar o centro.

Na elipse, o valor S=(x−h)²/a²+(y−k)²/b² distingue ponto interno (S<1), sobre a borda (S=1) e externo (S>1). Para encontrar uma reta secante ou tangente, substitua sua equação na elipse: duas raízes reais distintas dão dois encontros, uma raiz dupla dá tangência e nenhuma raiz real dá reta externa. Retas verticais são tratadas substituindo x diretamente.

Hipérbole reúne os pontos em que o valor absoluto da diferença das distâncias aos focos é 2a. Com eixo transversal horizontal, x²/a²−y²/b²=1 e c²=a²+b². Os vértices são (±a,0), os focos (±c,0). As retas y=±(b/a)x são assíntotas: indicam as direções de aproximação dos ramos, não bordas de uma região fechada. Com centro (h,k), use y−k=±(b/a)(x−h). Se o termo positivo é o de y, o eixo é vertical e as assíntotas são y−k=±(a/b)(x−h).

Na hipérbole, substituição decide pertencimento; não use os rótulos interior/exterior de uma elipse para uma curva aberta. Uma reta pode encontrar a hipérbole em zero, um ou dois pontos. Um único encontro não prova tangência: uma reta paralela a uma assíntota pode reduzir a equação a primeiro grau. Tangência em ponto regular corresponde à raiz dupla quando a substituição conserva o grau dois.

Para reconhecer Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0, primeiro agrupe termos e complete quadrados quando B=0. Quadrados com mesmo sinal sugerem elipse; sinais opostos, hipérbole; só um quadrado, parábola. Confira a constante: x²+y²=−1 não tem ponto real; x²+y²=0 é um ponto; x²−y²=0 é um par de retas. O teste B²−4AC distingue os tipos não degenerados: negativo elíptico, zero parabólico e positivo hiperbólico. Ele não garante existência nem não degeneração.

O termo xy pode representar eixos girados. Basta reconhecer isso e, em casos simples, usar uma troca explícita: u=(x+y)/√2 e v=(x−y)/√2 transformam xy=1 em u²−v²=2. Não é necessário desenvolver a teoria universitária de matrizes de formas quadráticas para reconhecer a curva. Depois de identificar, interprete centro, eixos e pontos, em vez de memorizar apenas o discriminante.

Foco

Ponto fixo usado na condição de distância.

Diretriz

Reta fixa na definição da parábola.

Assíntota

Reta da qual um ramo se aproxima indefinidamente.

Semieixo

Metade de um eixo da elipse.