Geometria espacial de posição

Entenda o conceito

Uma folha estendida representa parte de um plano; uma aresta representa parte de uma reta. Os objetos matemáticos continuam indefinidamente. Para pensar no espaço, imagine uma caixa retangular (paralelepípedo reto-retângulo) com vértices A,B,C,D em ordem ao redor da base no chão e E,F,G,H diretamente acima deles, respectivamente. Um desenho em perspectiva pode mostrar linhas que se cruzam no papel sem se encontrarem na caixa.

Duas retas coincidentes têm todos os pontos comuns. Retas distintas coplanares podem ser concorrentes, com um ponto comum, ou paralelas, sem encontro. Retas reversas não estão em um mesmo plano, portanto não se encontram e não são paralelas. Na caixa, AB e EF são paralelas; AB e AD são concorrentes; AB e CG são reversas.

Dois planos podem coincidir, ser paralelos distintos ou ser secantes. Planos secantes se encontram em uma reta inteira; não em um único ponto. Na caixa, piso e teto são paralelos. Piso e parede frontal se encontram na reta AB. Três pontos não alinhados determinam um plano, mas três pontos de uma mesma reta não determinam um único plano.

Uma reta pode estar contida num plano (todos os pontos comuns), ser secante (um único ponto) ou ser paralela ao plano (nenhum ponto). Se uma reta é paralela a uma reta do plano, ainda é necessário excluir que esteja contida nele para concluir paralelismo estrito. A aresta AE é secante ao piso; EF é paralela ao piso; AB está contida nele.

Duas retas perpendiculares se encontram formando ângulo reto. Retas reversas podem ter direções ortogonais sem serem perpendiculares, pois falta o encontro. Na caixa, AB e AD são perpendiculares; AB e CG têm direções ortogonais, mas são reversas. Declarar “90 graus” no papel não substitui verificar posição no espaço.

Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo pé da perpendicular. Basta verificar duas retas concorrentes do plano nesse pé. Ser perpendicular a uma única reta não basta. AE é perpendicular ao piso porque é perpendicular a AB e AD. Sua distância ao plano é medida ao longo dessa direção normal.

Dois planos são perpendiculares quando o ângulo diedro entre eles é reto. Para medir esse ângulo, corte-os por um plano perpendicular à reta de interseção e meça o ângulo das duas retas resultantes. Uma parede vertical é perpendicular ao piso porque contém uma reta perpendicular ao piso. Isso não significa que toda reta da parede seja perpendicular a toda reta do piso.

Projetar ortogonalmente um ponto sobre um plano é traçar a perpendicular até seu pé no plano. Projete os dois extremos para projetar um segmento. Se o segmento é perpendicular ao plano, sua projeção é um ponto; se é paralelo, preserva o comprimento. Em outros casos fica menor: o segmento, sua projeção e a diferença de alturas formam um triângulo retângulo.

Se L é o comprimento e θ é o ângulo do segmento com o plano, o comprimento projetado é L cos θ; a diferença de alturas é L sen θ. O ângulo com a normal é o complementar, por isso trocar plano por normal troca seno e cosseno. Projetar sobre uma reta também significa usar perpendiculares a essa reta; em um plano, é o mesmo triângulo de componentes.

Coplanares

Contidos em um mesmo plano.

Reversas

Retas não coplanares.

Pé da perpendicular

Ponto em que a perpendicular encontra o plano ou a reta.

Ângulo diedro

Ângulo entre dois semiplanos medido numa seção perpendicular à interseção.