Binômio de Newton

Entenda o conceito

Elevar (a+b) ao cubo significa multiplicar três fatores (a+b). Na distributiva escolhemos a ou b em cada fator. Uma escolha de b e duas de a sempre produz a²b, mas b pode vir do primeiro, segundo ou terceiro fator. Por isso o coeficiente desse termo é 3, e não 1.

Recupere potências, produtos notáveis e combinações. Em (a+b)ⁿ, um termo com k escolhas de b tem n−k escolhas de a. Escolher as k posições entre n fatores pode ser feito de C(n,k) maneiras: a ordem das posições escolhidas não cria um novo grupo. Daí C(n,k)=n!/[k!(n−k)!], incluindo C(n,0)=C(n,n)=1 e 0!=1.

O desenvolvimento organiza as escolhas pelo número k: (a+b)ⁿ=Σ C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ, de k=0 até n. O símbolo Σ manda somar esses termos. O termo T(k+1) usa índice k porque o primeiro termo tem k=0. A soma dos expoentes em cada produto é sempre n e há n+1 parcelas antes de eventuais simplificações.

No triângulo de Pascal cada linha começa e termina em 1; o número interno é a soma dos dois acima. A razão é separar escolhas que incluem a última posição das que não incluem: C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k). As primeiras linhas são 1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1. O número da linha começa em zero.

Para (a−b)ⁿ, trate o segundo termo como −b: k ímpar produz sinal negativo e k par, positivo. Em (2x−1)³, os coeficientes de Pascal são 1,3,3,1, mas também é preciso elevar 2 e x às potências corretas. O resultado é 8x³−12x²+6x−1. Avaliar em x=1 dá 1 dos dois lados e ajuda a detectar erros de sinal.

Para buscar um coeficiente sem expandir tudo, escreva o termo geral e resolva o expoente de x. Em (x²+1/x)⁶, o termo de índice k tem expoente 2(6−k)−k=12−3k. O termo constante exige k=4; seu coeficiente é C(6,4)=15. Aqui x≠0, porque há 1/x. Um índice só é admissível se for inteiro entre zero e n.

Os coeficientes também contam sequências de sucessos e fracassos. Em n tentativas independentes com probabilidade fixa p, a chance de exatamente k sucessos é C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. O binômio explica o fator combinatório e por que a soma das probabilidades é (p+1−p)ⁿ=1. Sem independência ou p constante, esse modelo não se aplica automaticamente.

Não confunda desenvolvimento binomial com equação binomial. Desenvolver (x+1)⁴ é uma identidade para todo x; resolver x⁴=16 procura valores específicos. Equações binomiais e trinomiais são retomadas na aula de polinômios, com atenção a soluções reais e complexas.

Coeficiente binomial

Quantidade de escolhas de k posições entre n.

Termo geral

Expressão que produz uma parcela a partir de seu índice.

Termo constante

Parcela em que a potência total da variável é zero.