Relatividade especial

Entenda o conceito

Uma pessoa caminha a 2 m/s para a frente dentro de um trem que passa a 10 m/s. No modelo clássico, o solo mede 12 m/s. A velocidade depende do referencial, mas as leis de Newton têm a mesma forma entre referenciais inerciais. Um evento é algo localizado no espaço e no tempo: por exemplo, uma lâmpada piscar em certo ponto. Comparar eventos exige réguas e relógios, não apenas “o que parece mais rápido”.

Considere S′ movendo-se a velocidade v no sentido +x de S, com origens coincidentes em t=0. Galileu usa x′=x−vt e t′=t. Assim u′=u−v. Tempo e simultaneidade são absolutos nesse modelo. Ele funciona muito bem quando as velocidades são pequenas em comparação com c, a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente 3×10⁸ m/s.

Michelson e Morley compararam tempos de ida e volta de luz em braços perpendiculares de um interferômetro, buscando a diferença esperada de um movimento através do éter. Não observaram o deslocamento sistemático de franjas esperado pelo modelo testado. Esse resultado limitou aquele modelo de éter e é parte da história experimental; não significa ausência de movimento terrestre nem constitui sozinho uma dedução de toda a relatividade.

Einstein parte de dois postulados: as leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais; todos eles medem o mesmo c para a luz no vácuo, independentemente do movimento da fonte. Somar c e a velocidade do trem pela regra clássica contrariaria o segundo. Espaço e tempo precisam transformar-se juntos. Com β=v/c e γ=1/√(1−β²), as transformações são x′=γ(x−vt), t′=γ(t−vx/c²), y′=y e z′=z. Para v≪c, γ≈1 e recuperamos aproximadamente Galileu.

O termo vx/c² mostra que eventos simultâneos em S, mas separados em x, em geral não são simultâneos em S′. Para usar as fórmulas, descreva quais eventos estão sendo comparados. γ≥1 para |v|<c; v=c não é um referencial de repouso permitido para relógio ou corpo com massa. Não explique os efeitos como simples atraso visual da luz: medidas já consideram propagação dos sinais.

Tempo próprio Δτ é o intervalo medido por um único relógio presente nos dois eventos, como dois tiques de um relógio que viaja com a nave. Um referencial em que esse relógio se move mede Δt=γΔτ. Um relógio de luz ajuda a entender: no seu repouso, a luz sobe e desce verticalmente; visto de fora, percorre uma diagonal maior. Como c é o mesmo, o intervalo externo é maior. Se β=0,6, γ=1,25; 4 s próprios correspondem a 5 s externos.

Comprimento próprio L₀ é medido no repouso do objeto. Para medir um objeto em movimento, o observador deve registrar suas duas extremidades simultaneamente no seu referencial. Na direção do movimento, L=L₀/γ; dimensões transversais não sofrem essa contração. Uma barra de 10 m próprios a 0,6c mede 8 m no laboratório. A exigência de simultaneidade é diferente nos dois referenciais; não confunda contração com foto em perspectiva.

Se um objeto tem velocidade u′ em S′ ao longo do mesmo eixo e S′ move-se a v em S, então u=(u′+v)/(1+u′v/c²). Com u′=0,6c e v=0,6c, u=(1,2/1,36)c=(15/17)c, menor que c. Com u′=c, o resultado é c. Se uma velocidade aponta contra +x, use sinal negativo; não some somente módulos. No limite lento, o denominador fica próximo de 1.

Usaremos massa invariante m, também chamada massa de repouso, sem fazê-la aumentar com a velocidade. Momento é p=γmv, energia total E=γmc² e energia de repouso E₀=mc². Energia cinética K=E−E₀=(γ−1)mc². Elas obedecem E²=(pc)²+(mc²)². Um fóton tem massa de repouso zero e E=pc, sem referencial de repouso; não use γm com v=c como produto de zero por infinito.

Para v pequeno, K se aproxima de mv²/2 e p de mv. Perto de c, aumentar a velocidade exige energia cada vez maior para um corpo com massa; γ diverge quando v se aproxima de c. Em reações, a massa de repouso total de um sistema inclui sua energia interna dividida por c²: energia liberada pode reduzir a massa de repouso dos produtos, mantendo a energia total conservada. Diferencie E, E₀ e K antes de substituir dados.

Uma boa ordem de resolução é nomear os referenciais e eventos, identificar o que é próprio, calcular β e γ, escolher a relação e conferir o limite clássico. Tempo externo deve ser maior que o próprio no caso de relógio inercial em movimento; comprimento longitudinal, menor que o próprio. Para energia, a identidade entre E, p e m fornece uma conferência independente.

Referencial inercial

Referencial em que um corpo livre mantém velocidade constante.

Tempo próprio

Intervalo de eventos no mesmo local do referencial do relógio.

Comprimento próprio

Comprimento no repouso do objeto.

Massa invariante

Massa que aparece em E₀=mc² e não depende do referencial.