Semelhança e relações na geometria plana

Entenda o conceito

Desenhar ajuda a descobrir relações, mas a aparência não prova uma medida. Ângulos opostos pelo vértice são iguais; ângulos adjacentes sobre uma reta somam 180°. Quando uma transversal corta paralelas, alternos internos e correspondentes são iguais, enquanto colaterais internos somam 180°. Verifique o paralelismo antes de usar essas relações.

Três comprimentos positivos formam um triângulo se cada um é menor que a soma dos outros dois. Basta conferir o maior: 2,3,6 não fecham um triângulo. Quanto aos lados, um triângulo é equilátero, isósceles ou escaleno; quanto aos ângulos, acutângulo, retângulo ou obtusângulo. Seus ângulos internos somam 180° e um externo é a soma dos dois internos não adjacentes.

Congruência significa mesma forma e tamanho. Os critérios lado-lado-lado, lado-ângulo-lado (ângulo compreendido) e ângulo-lado-ângulo permitem concluir congruência sem medir tudo. Semelhança preserva a forma, admitindo escala: dois ângulos iguais bastam; também servem três lados proporcionais ou dois proporcionais e o ângulo compreendido igual. A correspondência dos vértices determina quais lados comparar.

Se lados correspondentes têm razão k, perímetros têm razão k e áreas, k². Uma ampliação que dobra o lado quadruplica a área. Segmentos paralelos recortam triângulos semelhantes, justificando as proporções de Tales. Num triângulo retângulo, a altura h até a hipotenusa c divide-a em projeções m,n: c=m+n, h²=mn e os quadrados dos catetos são cm e cn.

Mediana liga um vértice ao ponto médio oposto; altura é perpendicular à reta do lado oposto; bissetriz divide o ângulo ao meio; mediatriz é perpendicular ao lado em seu ponto médio. As medianas encontram-se no baricentro, que divide cada uma na razão 2:1 a partir do vértice. Alturas encontram-se no ortocentro; bissetrizes, no incentro (centro da circunferência inscrita); mediatrizes, no circuncentro (centro da circunscrita). Esses pontos não coincidem em geral.

A bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. A base média de um triângulo liga pontos médios de dois lados: é paralela ao terceiro e tem metade de seu comprimento. Num trapézio, o segmento entre pontos médios dos lados não paralelos mede (B+b)/2.

Paralelogramos têm lados opostos paralelos e iguais e diagonais que se cortam ao meio. Retângulos têm quatro ângulos retos e diagonais iguais; losangos têm quatro lados iguais e diagonais perpendiculares; quadrados reúnem ambas as propriedades. Trapézio aqui significa quadrilátero com apenas um par de lados paralelos. Suas áreas são bh no paralelogramo, Dd/2 no losango e (B+b)h/2 no trapézio.

Um polígono regular tem lados e ângulos iguais. Traçando segmentos do centro aos vértices, decompõe-se em triângulos com altura igual ao apótema: área=perímetro×apótema/2. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n−2)180°, e a soma dos externos orientados numa volta é 360°.

Uma tangente toca a circunferência num ponto e é perpendicular ao raio ali; uma secante corta em dois. Duas tangentes traçadas de um mesmo ponto externo têm segmentos iguais. Um ângulo inscrito mede metade do arco interceptado; o ângulo central mede o próprio arco. Um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.

A potência de um ponto resume produtos de segmentos: para cordas que se cruzam dentro, PA×PB=PC×PD; para duas secantes a partir de um ponto externo, parte externa×secante inteira é constante; com tangente, PT²=PA×PB. Não substitua a secante inteira apenas pelo trecho interno. Áreas de círculo e setor permanecem πr² e (θ/360°)πr²; uma coroa circular tem área π(R²−r²).

A bissetriz externa de um ângulo do triângulo divide externamente o lado oposto na mesma razão dos lados adjacentes: |BD|/|CD|=AB/AC, com D na reta BC fora do segmento. Se AB>AC, D fica além de C; se AB<AC, além de B. No caso isósceles AB=AC, a bissetriz externa é paralela a BC e não existe ponto finito de divisão externa. Não use BD+DC=BC quando D está fora do segmento.

Para um polígono regular inscrito numa circunferência de raio R, o triângulo formado pelo centro, um vértice e o ponto médio de um lado é retângulo. Assim lado=2R sen(π/n) e apótema=R cos(π/n); o apótema é o raio da circunferência inscrita. Em qualquer triângulo, área=r·s com s o semiperímetro dá o raio inscrito; a relação área=abc/(4R) dá o circunscrito. No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e R é metade dela.

Uma linha poligonal é uma sequência finita de segmentos consecutivos: o fim de um é o início do seguinte. É aberta se as extremidades não coincidem e fechada se coincidem. É simples se os segmentos não se cruzam fora das extremidades comuns; uma poligonal fechada simples delimita um polígono. O comprimento do percurso é a soma dos segmentos, não a distância direta entre o início e o fim. Em A=(0,0), B=(3,0), C=(3,4), o caminho A–B–C mede 7, mas AC mede 5; fechar C–A dá perímetro 12.

Uma ceviana liga um vértice a um ponto do lado oposto. Nem toda ceviana é altura, mediana ou bissetriz. No triângulo ABC, D está dentro de BC; escreva BD=m, DC=n, BC=a=m+n, AB=c, AC=b e AD=d. Stewart relaciona os cinco comprimentos conhecidos ao sexto: b²m+c²n=a(d²+mn). Os pesos m e n multiplicam os quadrados dos lados opostos a esses segmentos. Desenhar e nomear evita trocar os pares.

Por que funciona: seja θ=∠ADB. Pela lei dos cossenos, c²=d²+m²−2dm cos θ. Como ∠ADC=180°−θ, b²=d²+n²+2dn cos θ. Multiplique a primeira por n, a segunda por m e some: os termos com cosseno se cancelam, dando (m+n)d²+mn(m+n). Assim d²=(b²m+c²n)/(m+n)−mn. As medidas devem formar um triângulo e D deve pertencer ao segmento BC nesta versão.

Exemplo guiado: AB=AC=5 e BC=6, com D ponto médio, dão m=n=3. Então d²=(25×3+25×3)/6−9=16, d=4. A simetria torna essa mediana também altura, e Pitágoras confirma 3²+4²=5². Em triângulo sem simetria, não use Pitágoras antes de provar o ângulo reto.

Como pensar: marque os dados na figura, identifique a ceviana e calcule o segmento restante da base. Use Stewart se conhece lados e divisão da base; use Tales quando houver paralelas e semelhança; use a bissetriz somente se o ângulo foi dividido igualmente. Dica: para uma mediana, m=n=a/2 reduz Stewart a d²=(b²+c²)/2−a²/4, uma boa conferência.

Semelhantes

Figuras com ângulos correspondentes iguais e medidas lineares proporcionais.

Congruentes

Figuras que coincidem por deslocamento, rotação ou reflexão.

Apótema

Distância do centro ao lado de um polígono regular.