Áreas, diagonais e volumes de sólidos

Entenda o conceito

Um poliedro é limitado por faces poligonais planas; encontros de faces são arestas e encontros de arestas são vértices. Para poliedros convexos, V−E+F=2. Num cubo, 8−12+6=2. A letra V nessa relação conta vértices; nas fórmulas de capacidade, V representará volume. Cilindros, cones e esferas possuem superfícies curvas e não são poliedros.

Um prisma tem duas bases poligonais congruentes e paralelas e faces laterais em paralelogramos. No prisma reto, as arestas laterais são perpendiculares às bases. Seu volume é área da base vezes altura perpendicular, B·h, inclusive no prisma oblíquo. No reto, abrir as faces laterais dá retângulos: área lateral=perímetro da base×h e área total=área lateral+2B.

O paralelepípedo retângulo de arestas a,b,c tem área total 2(ab+ac+bc). Sua diagonal espacial vem de duas aplicações de Pitágoras: primeiro √(a²+b²) numa face, depois d=√(a²+b²+c²). Num cubo de lado a, d=a√3 e a área total é 6a².

Uma pirâmide tem uma base poligonal e faces laterais triangulares reunidas num vértice. Seu volume é Bh/3: um terço de um prisma de mesma base e altura. Para área lateral, some áreas dos triângulos. Na pirâmide regular, esses triângulos têm a mesma altura inclinada g (apótema lateral), então área lateral=perímetro da base×g/2. g difere da altura vertical h.

No cilindro circular reto, a superfície lateral aberta é um retângulo de lados 2πr e h. Portanto área lateral=2πrh, área total=2πrh+2πr² e volume=πr²h. A unidade quadrada da área mede material para revestir; a cúbica do volume mede espaço ocupado.

O cone circular reto tem volume πr²h/3. Sua geratriz g liga o vértice à borda da base, e g²=r²+h². A superfície lateral se abre num setor de raio g cujo arco mede 2πr; daí sua área é πrg, e a total é πrg+πr². Trocar g por h na área lateral encurta incorretamente a superfície inclinada.

A esfera é o conjunto da superfície a distância r do centro; a região sólida interna é a bola. No uso escolar, 'volume da esfera' se refere a essa região: 4πr³/3, e a área da superfície é 4πr². Um corte por plano a distância d do centro, com 0≤d≤r, tem raio √(r²−d²), novamente por Pitágoras.

Em sólidos semelhantes, comprimentos variam por k, áreas por k² e volumes por k³. Dobrar o raio de uma esfera multiplica a área por 4 e o volume por 8. Antes de aplicar qualquer fórmula, converta as unidades: 1 m³=1.000.000 cm³ e 1 litro=1000 cm³.

Inscrever um sólido em outro exige contato com sua superfície, não apenas caber dentro dele. Um cubo inscrito numa esfera tem os oito vértices sobre ela: a diagonal espacial é o diâmetro. Se a aresta é a, Pitágoras na face dá a√2 e no espaço dá a√3, então R=a√3/2. Já uma esfera inscrita no cubo toca as seis faces e tem raio a/2. Inverta a linguagem com cuidado: o sólido externo circunscreve o interno.

Uma seção central transforma inscrição em problema plano. Num cilindro circular reto inscrito numa esfera, o retângulo central tem semilados r e h/2: R²=r²+(h/2)². Numa esfera inscrita num cilindro circular reto e tocando as duas bases, r=R e h=2R. Para um cone reto, a seção axial é um triângulo isósceles: o raio ρ da esfera inscrita é o raio do círculo inscrito nesse triângulo, ρ=rh/(r+g), pois área=semiperímetro×ρ, com g²=r²+h².

Prismas classificam-se pelo polígono da base e pela posição das arestas: retos se as arestas laterais são perpendiculares às bases; oblíquos caso contrário. Prisma regular é reto com base regular. A altura é distância perpendicular entre os planos das bases, não necessariamente a aresta. Pirâmides classificam-se pela base; uma pirâmide regular tem base regular e projeção do vértice no centro. Cilindros e cones também podem ser retos ou oblíquos. As fórmulas usuais de área lateral 2πrh e πrg exigem cilindro circular reto e cone circular reto.

Um corte paralelo à base de uma pirâmide ou cone produz uma figura semelhante à base. Se a razão dos comprimentos é k, a das áreas é k² e a dos volumes é k³. Retirar o sólido pequeno do grande dá um tronco. Para altura perpendicular h e áreas das bases B e b, V=h(B+√(Bb)+b)/3. No cone circular, B=πR² e b=πr², então V=πh(R²+Rr+r²)/3. Só use essa expressão para bases paralelas de sólidos semelhantes.

No tronco de cone circular reto, a geratriz g satisfaz g²=h²+(R−r)². Sua área lateral é π(R+r)g; a total soma πR²+πr². No tronco de pirâmide regular, as faces são trapézios: A lateral=(P+p)g/2, em que P e p são perímetros das bases e g é a altura de cada trapézio lateral. Essa apótema lateral é diferente da altura vertical h; encontre-a numa seção perpendicular a uma aresta da base.

Num prisma ou cilindro, um corte paralelo à base mantém a seção e V=Bh. Para corte oblíquo de um prisma reto, a altura sobre a base varia linearmente: num prisma triangular vale B(h1+h2+h3)/3; numa base retangular vale B vezes a média das quatro alturas nos vértices, desde que elas descrevam um mesmo plano e sejam não negativas. Um prisma poligonal pode ser dividido em prismas triangulares. Não aplique média de vértices sem ponderar áreas numa base arbitrária.

Num cilindro circular reto cortado por um plano oblíquo que fica todo acima da base, alturas opostas somam duas vezes a altura no centro; por simetria, V=πr²h_centro. A área da seção oblíqua é πr²/cosθ, com θ o ângulo agudo do plano de corte com a base. A superfície lateral remanescente é 2πrh_centro. Some base, seção e lateral para área total. Essas relações não se transferem sem prova a cilindros oblíquos, cortes curvos ou planos que atravessam a base.

A seção plana de uma esfera de raio R, a uma distância d do centro, tem raio s dado por s²=R²−d². A calota é a parte limitada por esse plano e uma das superfícies curvas; sua altura h vai do plano ao polo. A área curva é 2πRh e o volume do sólido da calota é πh²(3R−h)/3. Para área total, acrescente o disco de área πs², onde s²=2Rh−h². h pode variar de 0 a 2R, e h=R produz hemisfério.

Uma zona esférica é a faixa entre dois planos paralelos; sua área curva é 2πRH, em que H é a distância entre eles. O volume do segmento entre os planos pode ser calculado subtraindo volumes de duas calotas medidas a partir do mesmo polo. Um fuso esférico é uma faixa limitada por dois semicírculos máximos; sua área é a fração θ/360° de 4πR². A cunha é o sólido correspondente: V=(θ/360°)4πR³/3. Não use a fração angular de um fuso para uma calota definida por altura.

Um sólido é convexo se todo segmento ligando dois pontos dele fica inteiramente nele. Uma reentrância pode quebrar essa propriedade. Euler V−E+F=2 vale para poliedros convexos e também para superfícies poliédricas fechadas sem furos, mesmo não convexas. Não se conclui convexidade apenas pelo valor 2. Para superfícies fechadas orientáveis com g alças, V−E+F=2−2g; contar uma face com furo como um polígono simples pode invalidar a contagem.

Os cinco poliedros regulares convexos, sólidos de Platão, têm faces regulares congruentes e a mesma quantidade delas em cada vértice. São tetraedro (V=4,E=6,F=4), cubo (8,12,6), octaedro (6,12,8), dodecaedro (20,30,12) e icosaedro (12,30,20). As faces são triângulos no tetraedro, octaedro e icosaedro, quadrados no cubo e pentágonos no dodecaedro. Se cada face tem p lados, pF=2E porque cada aresta é compartilhada por duas faces; se q arestas chegam a cada vértice, qV=2E. A soma dos ângulos das faces num vértice convexo deve ser menor que 360°, limitando as possibilidades a esses cinco casos.

Num cilindro circular reto, seção transversal perpendicular ao eixo é círculo de raio r. Uma seção longitudinal por plano paralelo ao eixo é retângulo; se contém o eixo, tem lados 2r e h. Fora do eixo, a largura é uma corda, menor que 2r. No cone circular reto, a seção meridiana contém o eixo e é triângulo isósceles de base 2r, altura h e lados g. No tronco de cone reto, é trapézio isósceles de bases 2R e 2r e altura h. Identifique o plano antes de aplicar área: seção plana não é área lateral do sólido.

Imagine girar uma região plana uma volta completa em torno de uma reta do seu plano. Cada ponto percorre uma circunferência, cujo raio é sua distância perpendicular ao eixo. O conjunto preenchido gera um sólido de revolução. Um retângulo girado em torno de um lado gera cilindro; um triângulo retângulo em torno de um cateto gera cone; um semicírculo em torno do diâmetro gera esfera. Girar apenas o contorno pode gerar superfícies: identifique se o enunciado gira uma região ou uma linha.

Exemplo simples: retângulo de lados 2 e 5 cm em torno do lado de 5 cm gera cilindro r=2, h=5, V=20π cm³. Girar em torno do lado de 2 cm muda para r=5, h=2, V=50π cm³. O eixo decide raio e altura; trocar a escolha não preserva o volume.

Exemplo integrado: a região 1≤x≤3, 0≤y≤4 gira em torno do eixo y. Sua seção transversal é uma coroa de raios 1 e 3: o sólido é um cilindro vazado, com V=π(3²−1²)×4=32π. A distância do eixo à borda interna cria a cavidade; usar apenas o raio externo contaria material que não existe. Como pensar: marque eixo, distâncias mínima e máxima e altura; desenhe uma seção perpendicular e decomponha em sólidos conhecidos.

Altura

Distância perpendicular entre base e plano paralelo pelo topo.

Geratriz do cone reto

Comprimento inclinado do vértice à borda da base.

Planificação

Disposição das superfícies no plano, preservando suas áreas.