Polinômios, divisão e raízes

Entenda o conceito

Um polinômio em x é uma soma finita de coeficientes multiplicados por potências inteiras não negativas de x. Em P(x)=2x³−x+4, o grau é 3, o maior expoente com coeficiente não nulo. 1/x e √x não são polinômios em x. O polinômio nulo tem todos os coeficientes zero e não recebe grau nesta convenção.

Calcular valor numérico é substituir uma entrada: P(2)=16−2+4=18. Dois polinômios são idênticos quando todos os coeficientes correspondentes coincidem. Coincidir em um único valor não basta: x² e x valem 1 em x=1, mas não são idênticos. Para somar e subtrair, agrupe termos de mesmo grau; para multiplicar, distribua todos os termos.

Dividir P por D≠0 procura P=DQ+R, com R nulo ou de grau menor que D. Para dividir x³−1 por x−1, o primeiro termo do quociente é x²; subtraia x³−x² e continue. Obtém-se Q=x²+x+1 e R=0. Reexpandir (x−1)(x²+x+1) verifica o resultado.

Na divisão por x−a, substitua x=a na identidade: P(a)=R. É o teorema do resto. Se P(a)=0, então x−a é fator. A divisão sintética organiza os coeficientes: para x³−6x²+11x−6 e a=1, baixe 1, multiplique por 1 e some ao coeficiente seguinte, repetindo. A sequência final é 1,−5,6,0: quociente x²−5x+6 e resto zero.

Equação polinomial pede P(x)=0. O teorema fundamental da Álgebra garante que um polinômio não constante de grau n, com coeficientes complexos, tem n raízes complexas contadas com multiplicidade. Consequentemente P(x)=aₙ(x−r₁)...(x−rₙ). Isso não afirma que todas as raízes são reais ou distintas.

Se (x−2)² é fator, 2 tem multiplicidade pelo menos 2. Em P(x)=(x−2)²(x+1), as raízes são 2,2,−1 contando repetições. Na raiz real de multiplicidade par o sinal não muda; na ímpar, muda. Para coeficientes reais, raízes não reais ocorrem em pares conjugados: se 1+2i é raiz, 1−2i também é.

Expandir os fatores produz as relações de Girard. No cúbico ax³+bx²+cx+d, a≠0: r₁+r₂+r₃=−b/a, r₁r₂+r₁r₃+r₂r₃=c/a e r₁r₂r₃=−d/a. Em grau n, a soma é −aₙ₋₁/aₙ e o produto é (−1)ⁿa₀/aₙ. A alternância de sinais vem de escolher os termos −r em cada fator.

Uma estratégia de prova é testar candidatos simples, retirar um fator e resolver o grau menor. No cúbico x³−6x²+11x−6, P(1)=0; a divisão fornece x²−5x+6=(x−2)(x−3). Assim as raízes são 1,2,3; soma 6, soma dos produtos dois a dois 11 e produto 6 conferem os coeficientes.

O MDC mônico de dois polinômios é o produto dos fatores comuns com o menor expoente, normalizado para coeficiente líder 1. Também pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides: divida P por Q, depois Q pelo resto, repetindo até resto zero; o último resto não nulo, tornado mônico, é o MDC. Uma raiz comum isolada não informa sua multiplicidade: é preciso fatorar ou continuar as divisões.

Se um polinômio com coeficientes inteiros tem raiz racional p/q em forma irredutível, p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Isso produz candidatos, não garante que sejam raízes; teste cada um por substituição ou Ruffini. Se o termo constante é zero, retire primeiro o fator x. O teorema fundamental da álgebra garante o total de raízes complexas contando multiplicidades, mas não que sejam racionais.

Bolzano usa continuidade: se P(a)P(b)<0, existe pelo menos uma raiz real entre a e b. Polinômios são contínuos. A troca de sinal não garante unicidade; sinais iguais não excluem raízes de multiplicidade par ou duas travessias. Para f(x)=1/x entre −1 e 1, a descontinuidade impede usar esse raciocínio.

Uma equação binomial axⁿ+b=0 se reduz a xⁿ=−b/a, a≠0; em ℝ, expoente par não permite lado direito negativo, enquanto expoente ímpar admite uma raiz real. Em ℂ, as n raízes de um número não nulo usam módulo e argumentos espaçados por 2π/n, como na aula de complexos. Uma trinomial ax²ⁿ+bxⁿ+c=0 pode virar quadrática em t=xⁿ. Resolva em t e volte para x, respeitando o domínio real ou complexo pedido; n é inteiro positivo.

O coeficiente dominante, ou líder, acompanha o termo de maior grau após reduzir termos semelhantes. Em (2x²+x)−(2x²−3x+1), os quadráticos cancelam e sobra 4x−1, de grau 1 e coeficiente dominante 4. A função polinomial associa cada x a P(x); em ℝ, seu domínio é todo ℝ. Não trate o coeficiente de um termo que desapareceu como dominante.

Divisões sucessivas por x−a detectam multiplicidade. Se P(a)=0, retire uma vez o fator; avalie o quociente em a e continue enquanto houver resto zero. Em P=(x−1)²(x+2), a primeira divisão por x−1 dá x²+x−2; a segunda dá x+2 e a terceira deixa resto 3. Portanto 1 tem multiplicidade exatamente 2. Ruffini exige preencher com zero os coeficientes de graus ausentes.

Na trinomial complexa z⁴+3z²+2=0, tome t=z²: (t+1)(t+2)=0. As raízes t são −1 e −2; como o domínio é ℂ, não as descarte. Voltando, z=±i e z=±i√2. São quatro raízes, como prevê o grau. A substituição reduz o grau em t, mas cada volta a z exige resolver todas as raízes e conferir na expressão original.

Grau

Maior expoente cujo coeficiente não é zero.

Raiz

Entrada que torna o polinômio zero.

Multiplicidade

Quantidade de vezes que um fator linear aparece.