Números complexos e plano de Argand

Entenda o conceito

Nenhum número real tem quadrado −1. Para resolver equações como x²+1=0, ampliamos os números introduzindo i, com i²=−1. Um complexo é z=a+bi, com a e b reais. Sua parte real é a; a parte imaginária é b, e não bi. Dois complexos são iguais quando suas partes reais e imaginárias correspondem.

No plano de Argand-Gauss, z=a+bi corresponde ao ponto (a,b). O eixo horizontal contém os reais e o vertical contém os imaginários puros. O conjugado a−bi reflete esse ponto no eixo real. O módulo |z|=√(a²+b²) é a distância à origem; por isso z vezes seu conjugado é a²+b².

Soma e subtração agrupam partes semelhantes: (2+3i)+(4−i)=6+2i. Na multiplicação, distribua e substitua i² por −1: (2+3i)(1−i)=5+i. Para dividir por 1−i, multiplique numerador e denominador por 1+i: o denominador se torna 2. Só não se pode dividir pelo complexo zero.

As potências de i repetem um ciclo: i,−1,−i,1. Para i²³, divida 23 por 4; o resto 3 indica i²³=i³=−i. A unidade i não obedece à ordenação dos reais: não faz sentido dizer que i é positivo ou negativo.

Um complexo não nulo também pode ser descrito pela distância r e pelo ângulo θ, seu argumento: z=r(cosθ+i senθ). Em z=−1+i√3, r=2 e θ=2π/3; usar somente uma tangente inversa sem conferir o quadrante poderia escolher o ângulo errado. Argumentos que diferem por 2kπ descrevem o mesmo ponto. O zero tem módulo zero, mas não argumento definido.

Multiplicar complexos multiplica módulos e soma argumentos; dividir divide módulos e subtrai argumentos. Isso decorre das fórmulas de adição de seno e cosseno. Assim [r(cosθ+i senθ)]ⁿ=rⁿ(cos nθ+i sen nθ), a fórmula de De Moivre para expoentes inteiros (base não nula se o expoente for negativo).

Para encontrar raízes n-ésimas de um complexo não nulo, tome módulo r^(1/n) e argumentos (θ+2kπ)/n, k=0,...,n−1. Há n pontos igualmente espaçados. Por exemplo, as raízes quadradas de −4 têm módulo 2 e argumentos π/2 e 3π/2: 2i e −2i. Ambas elevadas ao quadrado dão −4.

Identificar a+bi com (a,b) também define operações entre pares. Soma e subtração são componente a componente; produto é (a,b)(c,d)=(ac−bd,ad+bc), obtido distribuindo e usando i²=−1. Não é (ac,bd). O conjugado é (a,−b) e, para (c,d)≠(0,0), o quociente é ((ac+bd)/(c²+d²),(bc−ad)/(c²+d²)). Por exemplo (1,2)(3,−1)=(5,5), representando 5+5i.

Conjugado

Complexo com a mesma parte real e parte imaginária oposta.

Módulo

Distância do ponto complexo à origem.

Argumento

Ângulo de um complexo não nulo, definido a menos de voltas completas.