Lógica proposicional

Entenda o conceito

Considere a frase “a lâmpada está acesa” num instante definido: ela afirma algo que pode ser verdadeiro ou falso, mesmo que você não saiba o valor. Isso é uma proposição. “Acenda a lâmpada!” é uma ordem e “a lâmpada está acesa?” é uma pergunta; nenhuma das duas recebe valor lógico. “x é maior que 3” é uma sentença aberta até fixarmos x ou quantificarmos a afirmação.

Usamos p e q como nomes de proposições completas, não como números. V e F indicam verdadeiro e falso. A negação ¬p troca os valores: se p é V, ¬p é F, e vice-versa. Negar “o portão está aberto” produz “o portão não está aberto”; negar “todos chegaram” exige “pelo menos um não chegou”, não “ninguém chegou”.

A proposição p∧q significa “p e q”: só é verdadeira quando ambas são. p∨q significa “p ou q” inclusivo: admite as duas verdadeiras. Se um problema quiser exatamente uma, deverá dizer “ou uma ou outra, mas não ambas”. A negação de “estudo e trabalho” é “não estudo ou não trabalho”. Basta falhar uma parte para negar o conjunto.

Uma condicional “se estudo, então aprendo” afirma que não ocorre estudar sem aprender. Por isso p→q é falsa somente quando p é V e q é F. Quando p é F, a promessa não é contrariada, qualquer que seja q. É uma relação lógica entre valores, não uma prova de causalidade. A condicional não permite concluir que só aprende quem estuda.

A bicondicional p↔q exige a ida e a volta: p→q e q→p. Ela é verdadeira quando os valores coincidem. Em p→q, p é suficiente para q e q é necessário para p. A recíproca q→p em geral não é equivalente. A contrarrecíproca ¬q→¬p é equivalente: ambas excluem exatamente o caso p verdadeiro e q falso.

Agora construa a tabela-verdade. Duas letras independentes têm quatro linhas: (V,V), (V,F), (F,V), (F,F). Nessa ordem, p∧q dá V,F,F,F; p∨q dá V,V,V,F; p→q dá V,F,V,V; p↔q dá V,F,F,V. Com n letras independentes, são 2ⁿ combinações. Resolva os parênteses e as negações antes do conectivo externo; parênteses evitam ambiguidades de leitura.

Tautologia é uma expressão verdadeira em todas as linhas, como p∨¬p. Uma proposição logicamente falsa, ou contradição, é falsa em todas, como p∧¬p. Contingência é verdadeira em algumas e falsa em outras. Não confunda “a frase é falsa hoje” com contradição: p pode mudar de valor e não ser logicamente impossível.

Dizer que A implica logicamente B significa não existir caso com A verdadeiro e B falso; equivale a A→B ser tautologia. Assim p∧q implica p. Para avaliar um argumento, junte as premissas por “e”: se não há linha com todas verdadeiras e conclusão falsa, o argumento é válido. De p→q e p conclui-se q (modus ponens); de p→q e ¬q conclui-se ¬p (modus tollens). De q sozinho não se conclui p.

A e B são equivalentes quando têm a mesma coluna em todas as linhas; A↔B é então tautologia. Leis úteis: ¬(p∧q) equivale a ¬p∨¬q; ¬(p∨q) equivale a ¬p∧¬q; p→q equivale a ¬p∨q; ¬(p→q) equivale a p∧¬q. Compare colunas ou procure um contraexemplo; concordar numa única linha não demonstra equivalência.

Proposição

Afirmação com valor verdadeiro ou falso em contexto definido.

Conectivo

Operação que combina ou modifica valores lógicos.

Tautologia

Expressão verdadeira sob toda atribuição de valores.

Equivalência

Igualdade dos valores lógicos em todas as atribuições.