Teorema de Pitágoras: fórmula, triângulo 3-4-5 e exercícios

Ao final da aula

Objetivos de aprendizagem

Reconhecer o ângulo reto, os catetos e a hipotenusa.
Calcular a hipotenusa a partir dos dois catetos.
Isolar e calcular um cateto a partir da hipotenusa e do outro cateto.
Validar as medidas e conferir a igualdade entre os quadrados.

Pré-requisito recomendado: Área e Perímetro

Fundamento

Entenda o conceito

O teorema vale somente para triângulos retângulos, isto é, com um ângulo de 90°. Os dois lados que formam esse ângulo são os catetos; o lado oposto é a hipotenusa e também o maior lado.

As áreas dos quadrados construídos sobre os catetos somam a área do quadrado construído sobre a hipotenusa. Essa relação de áreas produz a² + b² = c².

Para encontrar um cateto, subtraímos do quadrado da hipotenusa o quadrado do cateto conhecido. A hipotenusa informada precisa ser maior que o cateto.

Triângulo retângulo: Triângulo que possui um ângulo de 90°.
Catetos: Dois lados que formam o ângulo reto.
Hipotenusa: Lado oposto ao ângulo reto e maior lado do triângulo.
Radicando: Valor dentro do símbolo de raiz quadrada.

Triângulo retângulo com catetos de 3 e 4 centímetros, hipotenusa de 5 centímetros e marcador de 90 graus, ilustrando 3 ao quadrado mais 4 ao quadrado igual a 5 ao quadrado. — **Triângulo retângulo 3-4-5 do exemplo resolvido.** Os catetos 3 e 4 formam o ângulo de 90°; a hipotenusa 5 fica oposta a esse ângulo e satisfaz 3² + 4² = 5².

Relações e variáveis

Fórmulas explicadas

a² + b² = c²

Relação fundamental para um triângulo retângulo.

a: comprimento de um cateto Unidade: unidade linear
b: comprimento do outro cateto Unidade: unidade linear
c: comprimento da hipotenusa Unidade: unidade linear

c = √(a² + b²)

Forma isolada para calcular a hipotenusa.

a = √(c² − b²)

Forma isolada para calcular um cateto.

Procedimento seguro

Confirme que o triângulo tem ângulo de 90° e identifique a hipotenusa.
Escolha a forma da equação conforme o lado desconhecido.
Eleve os comprimentos conhecidos ao quadrado.
Some para obter a hipotenusa ou subtraia para obter um cateto.
Extraia a raiz quadrada positiva e confira a igualdade original.

Do enunciado à interpretação

Exemplo resolvido passo a passo

Exemplo resolvido

Hipotenusa de um triângulo com catetos 3 e 4

Um triângulo retângulo tem catetos de 3 cm e 4 cm. Encontre a hipotenusa.

Dados: a = 3 cm
b = 4 cm
c é desconhecida
Fórmula: c = √(a² + b²)
Substituição: c = √(3² + 4²)

Calcule os quadrados: 3² = 9 e 4² = 16.
Some: 9 + 16 = 25.
Extraia a raiz positiva: c = √25 = 5 cm.
Conferência: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 e 5² = 25.

Resultado: c = 5 cm.

Interpretação: A hipotenusa mede 5 cm e é maior que cada cateto, como esperado.

Tente antes de abrir

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

Exercício 1 A hipotenusa mede 13 m e um cateto mede 5 m. Calcule o outro cateto.

Dica: Para um cateto, use a raiz da diferença entre os quadrados.

Solução passo a passo

Use a = √(c² − b²).
Substitua: a = √(13² − 5²) = √(169 − 25).
Subtraia: a = √144 = 12 m.
Conferência: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

Resposta: O outro cateto mede 12 m.

Prática guiada

Confira ou avance com as calculadoras

Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.