MMC e MDC

Objetivos de aprendizagem

• Distinguir divisor, múltiplo, MDC e MMC.
• Encontrar o MDC com divisões sucessivas e restos.
• Encontrar o MMC por fatores primos ou pela relação com o MDC.
• Estender o cálculo de dois para vários números inteiros.

Entenda o conceito

Um divisor de um inteiro produz divisão exata; um múltiplo é obtido ao multiplicar o inteiro por outro inteiro. O MDC procura o maior divisor comum; para valores não nulos, o MMC procura o menor múltiplo positivo comum.

No algoritmo de Euclides, substituir o par (a, b) por (b, resto de a ÷ b) não altera o MDC. Quando o resto chega a zero, o último divisor não nulo é o MDC.

Na fatoração prima, o MDC reúne somente os fatores presentes em todos os números, com o menor expoente comum. O MMC reúne todos os fatores que aparecem, com o maior expoente encontrado.

Para dois inteiros não nulos, MMC(a,b) × MDC(a,b) = |a × b|. Se algum valor for zero, o MMC da lista é zero. Os resultados são apresentados sem sinal.

Divisor

Inteiro que divide outro inteiro sem deixar resto.

Múltiplo

Resultado da multiplicação de um inteiro por outro inteiro.

MDC

Maior divisor comum não negativo dos valores.

MMC

Menor múltiplo positivo comum para valores não nulos; por convenção, vale zero se algum valor for zero.

Resto

Parte que sobra em uma divisão inteira e alimenta o próximo passo de Euclides.

Fator primo

Número primo que aparece na decomposição multiplicativa de um inteiro.

Fórmulas explicadas

Procedimento seguro

1. Confirme que todos os valores são inteiros e trabalhe com seus valores absolutos.
2. No MDC, zeros não alteram o resultado quando há valor não nulo; por convenção, MDC(0,…,0) = 0.
3. Para o MDC de um par, divida o maior pelo menor e guarde o resto.
4. Repita a divisão usando o divisor e o resto até obter resto zero.
5. Na fatoração prima, use os menores expoentes comuns no MDC e os maiores expoentes presentes no MMC.
6. Para o MMC de dois valores não nulos, também é possível usar o produto absoluto dividido pelo MDC.
7. Com mais de dois números, acumule o resultado um par de cada vez.

Exemplo resolvido passo a passo

Exercícios com solução

Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.

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