Desvio-padrão
O desvio-padrão mede a dispersão dos valores em torno da média e mantém a mesma unidade dos dados originais.
Objetivos de aprendizagem
- Calcular a média e os desvios de cada valor.
- Explicar por que os desvios são elevados ao quadrado.
- Distinguir variância e desvio-padrão populacional e amostral.
- Interpretar zero como ausência de dispersão e valores maiores como maior espalhamento na escala usada.
Está difícil? Revise antes: Mediana e Moda, Potências, Raízes e Notação Científica
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Entenda o conceito
População é o conjunto completo que desejamos estudar; amostra é uma parte observada. Na notação Σxᵢ, Σ manda somar, xᵢ é o valor na posição i e o índice percorre todos os dados. μ indica média populacional; x̄, média amostral. Esses símbolos abreviam contas que podemos escrever por extenso.
Um desvio é a diferença entre um valor e a média. Desvios negativos e positivos se cancelariam na soma, por isso cada diferença é elevada ao quadrado.
A variância é obtida da soma desses quadrados. Para uma população completa, divide-se por N; para uma amostra usada para estimar a população, divide-se por n − 1.
A variância tem unidade ao quadrado. Sua raiz quadrada, o desvio-padrão, retorna à unidade original e pode ser comparada à escala dos dados.
O desvio-padrão descreve dispersão, mas não determina sozinho o formato da distribuição, a presença de normalidade ou a relevância prática da variação.
Amplitude é máximo menos mínimo: usa somente os extremos. Variância e desvio-padrão usam todas as distâncias à média. Duas séries podem ter a mesma média e amplitudes distintas, ou amplitude igual e dispersão interna diferente. Compare sempre na mesma unidade e sob a mesma convenção: variância populacional divide por n e amostral por n−1. Desvio-padrão não descreve sozinho a forma da distribuição nem prova que todos os valores estão próximos da média.
- Média
- Soma dos valores dividida pela quantidade de valores.
- Desvio
- Diferença entre cada valor e a média correspondente.
- Variância
- Soma dos desvios quadráticos dividida por N ou n − 1.
- Desvio-padrão
- Raiz quadrada não negativa da variância.
- População
- Conjunto completo de interesse; amostra é um subconjunto observado.
- 2 (desvio −3)
- 4 (desvio −1)
- 4 (desvio −1)
- 4 (desvio −1)
- 5 (desvio 0)
- 5 (desvio 0)
- 7 (desvio +2)
- 9 (desvio +4)
Fórmulas explicadas
Média da população completa.
- xᵢ
- cada valor observado Unidade: unidade dos dados
- N
- quantidade de valores da população
- μ
- média populacional Unidade: unidade dos dados
Variância populacional, em unidade ao quadrado.
- xᵢ
- cada valor da população Unidade: unidade dos dados
- μ
- média populacional Unidade: unidade dos dados
- N
- quantidade de valores da população
- σ²
- variância populacional Unidade: unidade dos dados ao quadrado
Desvio-padrão populacional, na unidade original.
- σ²
- variância populacional Unidade: unidade dos dados ao quadrado
- σ
- desvio-padrão populacional Unidade: unidade dos dados
Variância amostral; exige pelo menos dois valores.
- xᵢ
- cada valor da amostra Unidade: unidade dos dados
- x̄
- média amostral Unidade: unidade dos dados
- n
- quantidade de valores da amostra
- s²
- variância amostral Unidade: unidade dos dados ao quadrado
Desvio-padrão amostral, na unidade original.
- s²
- variância amostral Unidade: unidade dos dados ao quadrado
- s
- desvio-padrão amostral Unidade: unidade dos dados
Exemplo resolvido passo a passo
Desvio-padrão populacional de oito valores
Enunciado
Calcule média, variância e desvio-padrão populacional de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
- Dados
-
- valores = 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9
- N = 8
- modelo = população
- Fórmula
- μ = Σx ÷ N; σ² = Σ(x − μ)² ÷ N; σ = √σ²
- Substituição
- μ = 40 ÷ 8; σ² = [9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16] ÷ 8
Resolução
- Some os dados: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40.
- Calcule a média: μ = 40 ÷ 8 = 5.
- Os desvios são −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4.
- Os quadrados são 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16; a soma é 32.
- Variância populacional: σ² = 32 ÷ 8 = 4.
- Desvio-padrão: σ = √4 = 2.
Resultado: Média = 5; variância populacional = 4; desvio-padrão populacional = 2.
Interpretação: Os valores apresentam dispersão de 2 unidades segundo o modelo populacional; isso não pressupõe uma distribuição específica.
Exercícios com solução
Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.
Exercício 1
Calcule a variância e o desvio-padrão amostral dos valores 2, 4 e 6.
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Média amostral: x̄ = (2 + 4 + 6) ÷ 3 = 4.
- Desvios: −2, 0 e 2; quadrados: 4, 0 e 4; soma = 8.
- Como n = 3, a variância amostral é s² = 8 ÷ (3 − 1) = 4.
- Desvio-padrão amostral: s = √4 = 2.
Resposta: Variância amostral = 4; desvio-padrão amostral = 2.
Exercício 2 · Prática independente
Compare os conjuntos A={4,5,6} e B={1,5,9}: média, amplitude e variância populacional. Qual é mais disperso?
Ver solução passo a passo
Solução passo a passo
- Ambos têm média 5; amplitudes 2 e 8.
- Somas dos quadrados dos desvios: 2 e 32; dividindo por 3, variâncias 2/3 e 32/3.
- B é mais disperso; seu desvio-padrão é quatro vezes o de A.
Resposta: Médias 5; amplitudes 2 e 8; variâncias 2/3 e 32/3; B mais disperso.
Confira ou avance com as calculadoras
Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.
Calculadora de Desvio-padrão
Calcule média, variância e desvio-padrão populacional ou amostral.
Abrir calculadora Ler o guia de cálculoAulas relacionadas
Fontes e atualização
Conteúdo revisado em 09/10/2026.
- Measures of the Spread of the Data — OpenStax — Rice University. Variância e desvio-padrão populacional e amostral.