Desvio-padrão
O desvio-padrão mede a dispersão dos valores em torno da média e mantém a mesma unidade dos dados originais.
Objetivos de aprendizagem
- Calcular a média e os desvios de cada valor.
- Explicar por que os desvios são elevados ao quadrado.
- Distinguir variância e desvio-padrão populacional e amostral.
- Interpretar zero como ausência de dispersão e valores maiores como maior espalhamento na escala usada.
Pré-requisito recomendado: Mediana e Moda
Entenda o conceito
Um desvio é a diferença entre um valor e a média. Desvios negativos e positivos se cancelariam na soma, por isso cada diferença é elevada ao quadrado.
A variância é obtida da soma desses quadrados. Para uma população completa, divide-se por N; para uma amostra usada para estimar a população, divide-se por n − 1.
A variância tem unidade ao quadrado. Sua raiz quadrada, o desvio-padrão, retorna à unidade original e pode ser comparada à escala dos dados.
O desvio-padrão descreve dispersão, mas não determina sozinho o formato da distribuição, a presença de normalidade ou a relevância prática da variação.
- Média
- Soma dos valores dividida pela quantidade de valores.
- Desvio
- Diferença entre cada valor e a média correspondente.
- Variância
- Soma dos desvios quadráticos dividida por N ou n − 1.
- Desvio-padrão
- Raiz quadrada não negativa da variância.
- População
- Conjunto completo de interesse; amostra é um subconjunto observado.
- 2 (desvio −3)
- 4 (desvio −1)
- 4 (desvio −1)
- 4 (desvio −1)
- 5 (desvio 0)
- 5 (desvio 0)
- 7 (desvio +2)
- 9 (desvio +4)
Fórmulas explicadas
μ = Σxᵢ ÷ N
Média da população completa.
- xᵢ
- cada valor observado Unidade: unidade dos dados
- N
- quantidade de valores da população
- μ
- média populacional Unidade: unidade dos dados
σ² = Σ(xᵢ − μ)² ÷ N
Variância populacional, em unidade ao quadrado.
- xᵢ
- cada valor da população Unidade: unidade dos dados
- μ
- média populacional Unidade: unidade dos dados
- N
- quantidade de valores da população
- σ²
- variância populacional Unidade: unidade dos dados ao quadrado
σ = √σ²
Desvio-padrão populacional, na unidade original.
- σ²
- variância populacional Unidade: unidade dos dados ao quadrado
- σ
- desvio-padrão populacional Unidade: unidade dos dados
s² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Variância amostral; exige pelo menos dois valores.
- xᵢ
- cada valor da amostra Unidade: unidade dos dados
- x̄
- média amostral Unidade: unidade dos dados
- n
- quantidade de valores da amostra
- s²
- variância amostral Unidade: unidade dos dados ao quadrado
s = √s²
Desvio-padrão amostral, na unidade original.
- s²
- variância amostral Unidade: unidade dos dados ao quadrado
- s
- desvio-padrão amostral Unidade: unidade dos dados
Procedimento seguro
- Defina se os dados representam a população completa ou uma amostra.
- Some os valores e divida pela quantidade para obter a média.
- Subtraia a média de cada valor e eleve cada desvio ao quadrado.
- Some os quadrados e divida por N, na população, ou n − 1, na amostra.
- Extraia a raiz quadrada da variância sem arredondar os passos intermediários.
Exemplo resolvido passo a passo
Desvio-padrão populacional de oito valores
Calcule média, variância e desvio-padrão populacional de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
- Dados
-
- valores = 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9
- N = 8
- modelo = população
- Fórmula
- μ = Σx ÷ N; σ² = Σ(x − μ)² ÷ N; σ = √σ²
- Substituição
- μ = 40 ÷ 8; σ² = [9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16] ÷ 8
- Some os dados: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40.
- Calcule a média: μ = 40 ÷ 8 = 5.
- Os desvios são −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4.
- Os quadrados são 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16; a soma é 32.
- Variância populacional: σ² = 32 ÷ 8 = 4.
- Desvio-padrão: σ = √4 = 2.
Resultado: Média = 5; variância populacional = 4; desvio-padrão populacional = 2.
Interpretação: Os valores apresentam dispersão de 2 unidades segundo o modelo populacional; isso não pressupõe uma distribuição específica.
Exercícios com solução
Tente resolver sem consultar a resposta; uma estimativa inicial ajuda a perceber sinal, unidade e ordem de grandeza.
Exercício 1 Calcule a variância e o desvio-padrão amostral dos valores 2, 4 e 6.
Dica: A média é 4; por ser amostra, divida a soma quadrática por n − 1.
Solução passo a passo
- Média amostral: x̄ = (2 + 4 + 6) ÷ 3 = 4.
- Desvios: −2, 0 e 2; quadrados: 4, 0 e 4; soma = 8.
- Como n = 3, a variância amostral é s² = 8 ÷ (3 − 1) = 4.
- Desvio-padrão amostral: s = √4 = 2.
Resposta: Variância amostral = 4; desvio-padrão amostral = 2.
Confira ou avance com as calculadoras
Resolva primeiro no papel. Depois, use a ferramenta para conferir a relação trabalhada ou explorar a conversão indicada.
Calculadora de Desvio-padrão
Calcule média, variância e desvio-padrão populacional ou amostral.
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Fontes e atualização
Conteúdo revisado em 11/08/2026.
- Measures of the Spread of the Data — OpenStax — Rice University. Variância e desvio-padrão populacional e amostral.